[行列解析2.5.P50]

2.5.問題50

2.5.P50

反転行列 \( K_n \) (0.9.5.1) は実対称である。

(0.9.5.1)

K_n = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \cdot & \vdots & \vdots \\ 1 & \dots & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \kappa_{ij} \end{bmatrix} \in \mathbb{M}_n

ここで、成分は \(\kappa_{i,n-i+1} = 1\) で、他は0です。

さらに実直交行列でもあることを確認せよ。

その固有値が ±1 であることを説明せよ。

また、\( n \) が偶数のとき \(\mathrm{tr}(K_n) = 0\)、\( n \) が奇数のとき \(\mathrm{tr}(K_n) = 1\) であることを確認せよ。

さらに、\( n \) が偶数なら固有値は ±1 がそれぞれ重複度 \( n/2 \) を持ち、\( n \) が奇数なら固有値 +1 の重複度は \((n+1)/2\)、−1 の重複度は \((n-1)/2\) であることを説明せよ。