[行列解析2.5.P43]正規行列のブロック分解と対角化

2.5.P43

2.5.問題43
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2.5.問題43

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を正規行列とする。

(a)　\( A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \) と分割し、各 \( A_{ii} \) は正方行列とする。

もし \( A \) の固有値が \( A_{11}, A_{22}, \ldots, A_{kk} \) の固有値で（重複度を含めて）与えられるならば、例えば \( p_A(t) = p_{A_{11}}(t)\cdots p_{A_{kk}}(t) \) と書ける。

このとき \( A \) はブロック対角行列であり、すなわち \( i \neq j \) のとき \( A_{ij} = 0 \) で、各対角ブロック \( A_{ii} \) は正規であることを示せ。

(b)　もし \( A \) の各対角成分 \( a_{ii} \) が \( A \) の固有値であるなら、\( A \) は対角行列であることを説明せよ。

(c)　\( n=2 \) の場合、主対角成分の一方が \( A \) の固有値であるなら、\( A \) は対角行列であることを説明せよ。

ヒント

正規行列はユニタリ相似により対角化できるという基本事実を用いる。

固有値の分解がブロックごとに分離している場合、直交分解に対応する不変部分空間が存在することに注意する。

対角成分が固有値である場合には、シュール分解と正規性を併用すると非対角成分が消えることが分かる。

解答例

(a) \(A\) は正規であるから、あるユニタリ行列 \(U\) が存在して \(U^*AU\) は対角行列となる。仮定より、\(A\) の固有値は \(A_{11},A_{22},\ldots,A_{kk}\) の固有値を重複度込みで並べたものに一致し、特性多項式は \(p_A(t)=p_{A_{11}}(t)\cdots p_{A_{kk}}(t)\) と分解される。このとき、各 \(A_{ii}\) に対応する固有値全体が互いに直交する不変部分空間を張るため、異なるブロック間で固有ベクトルが混合することはない。したがって、\(i\neq j\) に対して \(A_{ij}=0\) であり、\(A\) はブロック対角行列となる。また、各対角ブロック \(A_{ii}\) は正規行列の主小行列であり、正規性は保存されるので、各 \(A_{ii}\) も正規である。

(b) 仮定より、各対角成分 \(a_{ii}\) はすべて \(A\) の固有値である。正規行列 \(A\) はユニタリ相似により対角化でき、その対角成分は固有値からなる。シュール分解により、上三角形表示をとると、対角成分は固有値であり、正規性から非対角成分はすべて 0 でなければならない。よって、もとの行列 \(A\) 自身がすでに対角行列である。

(c) \(n=2\) の場合を考える。主対角成分の一方、例えば \(a_{11}\) が \(A\) の固有値であると仮定する。すると、残りの固有値はトレースの一致から \(a_{22}\) に等しい。したがって両方の対角成分が固有値となる。正規行列に対して (b) の結果を適用すると、\(A\) は対角行列であることが従う。