[行列解析2.5.P42]

2.5.問題42

2.5.P42

\( A, B \in M_n \) とし、\(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を \( A \) の固有値とする。

次で定義される量

\delta(A) = \mathrm{tr}(A^*A) - \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2

を \( A \) の正規性からの欠陥（defect）と呼ぶ。

Schurの不等式 (2.3.2a) により \(\delta(A) \geq 0\) が成り立ち、また (2.5.3)(c) により \( A \) が正規であることと \(\delta(A) = 0\) が同値である。

\( A, B, AB \) が正規ならば、 \(\mathrm{tr}((AB)^*(AB)) = \mathrm{tr}((BA)^*(BA))\) が成り立ち、このことから \( BA \) も正規であることを説明せよ。

\( A \) が正規であり、\( A \) と \( B \) が同じ特性多項式を持ち、さらに \(\mathrm{tr}(A^*A) = \mathrm{tr}(B^*B)\) であると仮定する。