2.5.問題41
2.5.P41
\( z \in \mathbb{C}^n \) を非零ベクトルとし、\( z = x + iy \) と書く。
ただし \( x, y \in \mathbb{R}^n \) である。
(a)
次の3つの命題が同値であることを示せ:
- (1) \(\{z, \overline{z}\}\) が線形従属である。
- (2) \(\{x, y\}\) が線形従属である。
- (3) 単位ベクトル \( u \in \mathbb{R}^n \) と非零 \( c \in \mathbb{C} \) が存在して \( z = cu \) となる。
(b)
次の命題が同値であることを示せ:
- (1) \(\{z, \overline{z}\}\) が線形独立である。
- (2) \(\{x, y\}\) が線形独立である。
- (3) 実直交ベクトル \( v, w \in \mathbb{R}^n \) が存在して、\(\mathrm{span}\{z, \overline{z}\} = \mathrm{span}\{v, w\}\) （\(\mathbb{C}\) 上）となる。
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