2.5.P37
2.5.問題37
\(n \geq 2\) とし、
A = \begin{bmatrix} a & x^{*} \\ y & B \end{bmatrix} \in M_{n}, ただし \(B \in M_{n-1}, x, y \in \mathbb{C}^{n-1}\) であり、\(A\) は正規とする。
(a) \(\|x\|^{2} = \|y\|^{2}\) かつ \(xx^{*} - yy^{*} = BB^{*} - B^{*}B\) であることを示せ。
(b) 任意の正方複素行列 \(F\) に対して \(\mathrm{rank}(FF^{*} - F^{*}F) \neq 1\) である理由を説明せよ。
(c) 次の2つの排他的可能性がある理由を説明せよ： (i) 主小行列 \(B\) が正規であるか、(ii) \(\mathrm{rank}(BB^{*} - B^{*}B) = 2\)。
(d) \(B\) が正規であることと、ある実数 \(\theta\) が存在して \(x = e^{i\theta}y\) であることは同値であることを説明せよ。
(e) 次の例を考察せよ：
B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{bmatrix}, \quad a = 1 - \sqrt{2}. ヒント
行列 \(A\) が正規であるとは \(AA^{*} = A^{*}A\) が成り立つことである。
ブロック行列として積を計算し，各ブロックを比較することで条件が導かれる。(b) では反自己随伴行列 \(FF^{*}-F^{*}F\) の階数に注目する。(c)〜(d) は (a)(b) の結果を組み合わせて考える。
解答例
(a)
AA^{*}
=
\begin{bmatrix}
|a|^{2} + x^{*}x & a y^{*} + x^{*}B^{*} \\
\overline{a}y + Bx & yy^{*} + BB^{*}
\end{bmatrix}
\\
\quad \\
A^{*}A
=
\begin{bmatrix}
|a|^{2} + y^{*}y & \overline{a}x^{*} + y^{*}B \\
ax + B^{*}y & xx^{*} + B^{*}B
\end{bmatrix}.
正規性 \(AA^{*}=A^{*}A\) より左上成分から \(x^{*}x = y^{*}y\)、すなわち \( \|x\|^{2} = \|y\|^{2} \) が従う。右下ブロックを比較すると \(yy^{*}+BB^{*}=xx^{*}+B^{*}B\) であり、整理して \(xx^{*}-yy^{*}=BB^{*}-B^{*}B\) を得る。
(b)
行列 \(FF^{*}-F^{*}F\) は反自己随伴であり、そのトレースは \(0\) である。階数が 1 であると仮定すると，固有値は 0 以外に 1 個しか持たないが，反自己随伴行列の非零固有値は共役対で現れるため矛盾する。したがって \( \mathrm{rank}(FF^{*}-F^{*}F)\neq 1 \) である。
(c)
(a) より \(xx^{*}-yy^{*}=BB^{*}-B^{*}B\) である。右辺が零なら \(B\) は正規である。一方，零でない場合，(b) により階数は 1 になれないため，最小でも 2 である。よって (i) \(B\) が正規，または (ii) \( \mathrm{rank}(BB^{*}-B^{*}B)=2 \) のいずれかしか起こらない。
(d)
\(B\) が正規であれば \(BB^{*}-B^{*}B=0\) であり，(a) より \(xx^{*}=yy^{*}\) が成り立つ。このとき (2.5.P35) の結果から，ある実数 \(\theta\) が存在して \(x=e^{i\theta}y\) となる。逆に \(x=e^{\theta}y\) なら \(xx^{*}=yy^{*}\) であり，(a) より \(BB^{*}=B^{*}B\) が従い，\(B\) は正規である。
(e)
与えられた \(B,x,y,a\) について直接計算すると \( \|x\|^{2}=\|y\|^{2} \) かつ \(xx^{*}-yy^{*}=BB^{*}-B^{*}B\) が成り立ち，対応する行列 \(A\) は正規である。一方で \(B\) は正規でなく，この場合は (c) の (ii) が実現している具体例である。
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