[行列解析2.5.P35]階数1行列の正規性と位相の関係

2.5.P35

2.5.問題35
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2.5.問題35

零でないベクトル \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) を考える。

(a) \(xx^{*} = yy^{*}\) であることと、ある実数 \(\theta\) が存在して \(x = e^{i\theta} y\) であることは同値であることを示せ。

(b) 階数1の行列 \(A = xy^{*}\) に対し、次の条件が同値であることを示せ：

(i) \(A\) が正規である。
(ii) ある正の実数 \(r\) と \(\theta \in [0, 2\pi)\) が存在して \(x = r e^{i\theta} y\) である。
(iii) \(A\) が本質的にエルミートである。

ヒント

外積行列 \(xx^{*}\) の性質を調べることでベクトルの比例関係が分かる。階数1行列 \(A=xy^{*}\) については \(AA^{*}\) と \(A^{*}A\) を直接計算し，正規性，本質的エルミート性との関係を整理する。

解答例

(a) まず \(x=e^{i\theta}y\) とすると， \(xx^{*}=e^{i\theta}y(e^{i\theta}y)^{*}=yy^{*}\) である。

逆に \(xx^{*}=yy^{*}\) と仮定する。両辺を \(y\) に作用させると \(x(x^{*}y)=y(y^{*}y)\) を得る。ここで \(y^{*}y\neq0\) より，\(x\) は \(y\) の複素数倍である。さらに両辺のノルムを取ると \(\|x\|=\|y\|\) が従うので，ある実数 \(\theta\) が存在して \(x=e^{i\theta}y\) となる。

(b) \(A=xy^{*}\) とする。

まず

AA^{*} = x(y^{*}y)x^{*}, \quad A^{*}A = y(x^{*}x)y^{*}

である。

(i) \(A\) が正規であることは \(AA^{*}=A^{*}A\) と同値であり， \((y^{*}y)xx^{*}=(x^{*}x)yy^{*}\) が成り立つことに等しい。両辺を正の実数で割ると \(xx^{*}=yy^{*}\) となり，(a) よりある \(r>0,\theta\in[0,2\pi)\) が存在して \(x=re^{i\theta}y\) となる。よって (i) \(\Rightarrow\) (ii) が示された。

(ii) を仮定すると \(x=re^{i\theta}y\) より \(A=re^{i\theta}yy^{*}\) である。これは \(yy^{*}\) がエルミートであることから，\(A\) はスカラー倍されたエルミート行列であり，正規である。したがって (ii) \(\Rightarrow\) (i) が成り立つ。

(ii) のもとで \(e^{-i\theta}A=r\,yy^{*}\) はエルミートであるから，\(A\) は本質的にエルミートである。よって (ii) \(\Rightarrow\) (iii)。

最後に (iii) を仮定する。ある \(\phi\) が存在して \(e^{-i\phi}A\) がエルミートであるとすると， \(e^{-i\phi}xy^{*}=(e^{-i\phi}xy^{*})^{*}=e^{i\phi}yx^{*}\) が成り立つ。これより \(xx^{*}\) と \(yy^{*}\) が比例し，(a) と同様の議論から \(x=re^{i\theta}y\) が従う。したがって (iii) \(\Rightarrow\) (ii) である。

以上より (i)，(ii)，(iii) は互いに同値である。