[行列解析2.5.P33]可換な正規行列族の多項式表示

2.5.P33

2.5.問題33

\(F \subseteq M_{n}\) が可換な正規行列族であるとする。

このとき1つのエルミート行列 \(B\) が存在し、各 \(A_{\alpha} \in F\) に対して次数高々 \(n-1\) の多項式 \(p_{\alpha}(t)\) が存在して \(A_{\alpha} = p_{\alpha}(B)\) が成り立つことを示せ。

ここで \(B\) は \(F\) 全体に共通だが、多項式は元ごとに異なる可能性がある。

可換な正規行列族は同時ユニタリ対角化できることを用いる。共通のユニタリ行列で対角化した後，対角成分を区別する実数値をもつエルミート行列を1つ構成し，各行列の対角成分を補間する多項式を考える。

\(F \subseteq M_{n}\) は可換な正規行列族であるから，同時にユニタリ対角化可能である。すなわち，あるユニタリ行列 \(U\) が存在して，任意の \(A_{\alpha} \in F\) に対し

U^{*} A_{\alpha} U = \operatorname{diag}(\lambda_{\alpha,1},\ldots,\lambda_{\alpha,n})

と表せる。ここで \(\lambda_{\alpha,1},\ldots,\lambda_{\alpha,n}\) は複素数である。

次に，互いに異なる実数 \(\mu_{1},\ldots,\mu_{n}\) を任意に取り，

B = U \operatorname{diag}(\mu_{1},\ldots,\mu_{n}) U^{*}

と定める。このとき \(B\) はエルミート行列である。

各 \(A_{\alpha}\) について，補間多項式の定理により，

p_{\alpha}(\mu_{j}) = \lambda_{\alpha,j} \quad (j=1,\ldots,n)

を満たす次数高々 \(n-1\) の多項式 \(p_{\alpha}(t)\) が存在する。

このとき

p_{\alpha}(B) = U \operatorname{diag}(p_{\alpha}(\mu_{1}),\ldots,p_{\alpha}(\mu_{n})) U^{*} = U \operatorname{diag}(\lambda_{\alpha,1},\ldots,\lambda_{\alpha,n}) U^{*} = A_{\alpha}

が成り立つ。したがって，1つのエルミート行列 \(B\) が存在し，各 \(A_{\alpha} \in F\) は次数高々 \(n-1\) の多項式 \(p_{\alpha}\) を用いて \(A_{\alpha} = p_{\alpha}(B)\) と表される。