[行列解析2.5.P17]正規行列に対する多項式の正規性

2.5.P17

2.5.問題17
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2.5.問題17

$A \in M_{n}$ が正規であり、$p(t)$ が与えられた多項式であるとする。

正規行列の定義(2.5.1) を用いて $p(A)$ が正規であることを示せ。

定理(2.5.3)

行列 $A = [a_{i j}] \in M_{n}$ A=[aij]∈Mn が固有値 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ λ1,…,λn を持つとします。以下の主張はすべて同値です：

(a) $A$ A は正規行列である。

(b) $A$ A はユニタリ対角化可能である。

(d) $A$ A は互いに直交する $n$ n 個の固有ベクトルを持つ。

また定理(2.5.3) を用いた別の証明を与えよ。

ヒント

正規行列の定義は $ A A^{*} = A^{*} A $ である。

多項式 $ p(t) $ を用いた行列 $ p(A) $ の随伴は、係数が複素数であることに注意すれば $ p(A)^{*} = \overline{p}(A^{*}) $ と表される。

積の順序に注意して計算するとよい。また別証明では、正規行列がユニタリ対角化可能であることを用いる。

解答例

まず正規行列の定義を用いた証明を与える。$ A $ は正規であるから $ A A^{*} = A^{*} A $ が成り立つ。

多項式 $ p(t) = \sum_{k=0}^{m} c_{k} t^{k} $ とする。
このとき $ p(A) = \sum_{k=0}^{m} c_{k} A^{k} $ である。
随伴を取ると $ p(A)^{*} = \sum_{k=0}^{m} \overline{c_{k}} (A^{*})^{k} $ となる。

$ A $ が正規であることから、$ A $ と $ A^{*} $ は可換であり、したがって任意の多項式に対しても可換である。
よって $ p(A) p(A)^{*} = p(A)^{*} p(A) $ が成り立つ。

以上より $ p(A) $ は正規行列である。

次に定理(2.5.3) を用いた別証明を与える。$ A $ は正規行列であるから、定理(2.5.3) の (b) より、あるユニタリ行列 $ U $ と対角行列 $ \Lambda $ が存在して $ A = U \Lambda U^{*} $ と表される。

このとき $ p(A) = U p(\Lambda) U^{*} $ が成り立つ。
ここで $ p(\Lambda) $ は対角行列であり、明らかに正規である。

ユニタリ相似は正規性を保存するため、$ p(A) $ も正規行列である。
これにより、定理(2.5.3) を用いても $ p(A) $ が正規であることが示された。

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