[行列解析2.5.P6]正規行列の可換性による特徴づけ

2.5.P6

2.5.問題6

\(A \in M_n\) が正規であることと、互いに異なる固有値をもつある正規行列と可換であることは同値であることを示せ。

正規行列はユニタリ行列によって対角化できることを用いる。互いに異なる固有値をもつ正規行列は、その固有空間が一次元であり、可換性から共通の固有ベクトルをもつことに注意する。

まず、\( A \in M_n \) が正規であると仮定する。正規性より、あるユニタリ行列 \( U \) が存在して

A = U D U^{\ast}

と書ける。ただし \( D \) は対角行列である。

ここで、対角成分が互いに異なる実数である対角行列 \( \Lambda \) を取り、

B = U \Lambda U^{\ast}

と定める。このとき \( B \) は正規行列であり、固有値は互いに異なる。

さらに \( AB = U D \Lambda U^{\ast} = U \Lambda D U^{\ast} = BA \) が成り立つ。したがって、\( A \) は互いに異なる固有値をもつある正規行列 \( B \) と可換である。

次に、\( A \) が互いに異なる固有値をもつある正規行列 \( B \) と可換であると仮定する。

\( B \) は正規で固有値が互いに異なるため、あるユニタリ行列 \( U \) によって

B = U \Lambda U^{\ast}

と対角化でき、各固有空間は一次元である。

\( AB = BA \) より、\( A \) は \( B \) の各固有空間を保つ。したがって \( U^{\ast} A U \) は対角行列となる。

よって

A = U D U^{\ast}

と書け、\( A \) はユニタリ行列によって対角化可能である。

これは \( A \) が正規行列であることを意味する。

以上より、\( A \in M_n \) が正規であることと、互いに異なる固有値をもつある正規行列と可換であることは同値である。