[行列解析2.5.P3]正規行列と固有値の実数性の同値性

2.5.P3

2.5.問題3

正規行列がエルミート（Hermitian）であることと、そのすべての固有値が実数であることは同値であることを示せ。

正規行列はユニタリ行列によって対角化できる。

エルミート行列の定義 \( A^{*} = A \) と、対角成分が固有値になることを用いて考える。

まず \( A \in M_n \) が正規でエルミートであると仮定する。正規性より、あるユニタリ行列 \( U \) が存在して \( A = UDU^{*} \) と対角化できる。ここで \( D \) は対角行列で、その対角成分は \( A \) の固有値である。

エルミート性 \( A^{*} = A \) から、 \( UDU^{*} = (UDU^{*})^{*} = UD^{*}U^{*} \) が成り立つ。したがって \( D = D^{*} \) であり、対角成分はすべて実数である。よって \( A \) の固有値はすべて実数である。

逆に、\( A \) が正規で、そのすべての固有値が実数であると仮定する。正規性より再び \( A = UDU^{*} \) と書けるが、仮定より \( D \) の対角成分はすべて実数である。したがって \( D^{*} = D \) が成り立つ。

このとき \( A^{*} = (UDU^{*})^{*} = UD^{*}U^{*} = UDU^{*} = A \) となり、\( A \) はエルミートである。

以上より、正規行列がエルミートであることと、そのすべての固有値が実数であることは同値である。