2.5.P1
2.5.問題1
\(A \in M_n\) が正規であることと、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) について \((Ax)^{*}(Ax) = (A^{*}x)^{*}(A^{*}x)\)、すなわち \(\lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2}\) が成り立つことは同値であることを示せ。
\lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2} \quad (\forall\, x \in \mathbb{C}^{n}) ヒント
正規性とは \( AA^{*} = A^{*}A \) が成り立つことである。
与えられた等式は内積表示 \( \lVert Ax \rVert^{2} = (Ax)^{*}(Ax) \) を用いることで、行列の積に関する条件へ書き換えられる。
解答例
まず \( A \) が正規であると仮定する。すなわち \( AA^{*} = A^{*}A \) が成り立つとする。このとき任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して、
\lVert Ax \rVert^{2}
= (Ax)^{*}(Ax)
= x^{*}A^{*}Ax
となる。一方、
\lVert A^{*}x \rVert^{2}
= (A^{*}x)^{*}(A^{*}x)
= x^{*}AA^{*}x
である。正規性より \( A^{*}A = AA^{*} \) であるから、 \( \lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2} \) がすべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して成り立つ。
逆に、任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) について \( \lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2} \) が成り立つと仮定する。このとき、
x^{*}A^{*}Ax = x^{*}AA^{*}x
\quad (\forall\, x \in \mathbb{C}^n)
が従う。よって任意の \( x \) に対して \( x^{*}(A^{*}A - AA^{*})x = 0 \) である。
ここで \( A^{*}A - AA^{*} \) はエルミート行列であるから、上式がすべての \( x \) に対して成り立つためには \( A^{*}A - AA^{*} = 0 \) でなければならない。
したがって \( AA^{*} = A^{*}A \) が成り立ち、\( A \) は正規行列である。
以上より、\( A \) が正規であることと \( \lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2} \) が任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して成り立つことは同値である。
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