2.5.20
系 2.5.20.
\(U \in M_n\) をユニタリ行列とする。
(a) \(U\) が対称である場合、対称ユニタリ行列 \(V\) が存在して \(V^2 = U\) となり、さらに \(V\) は \(U\) の多項式として表される。したがって、\(U\) と可換な任意の行列と \(V\) も可換である。
(b) （ユニタリ行列のQS分解）実直交行列 \(Q\) と対称ユニタリ行列 \(S\) が存在して、
U = Q S
が成り立ち、さらに \(S\) は \(U^{T}U\) の多項式で表される。したがって、\(U^{T}U\) と可換な任意の行列と \(S\) も可換である。
証明.
(a)
先の系を用いて、
U = P \, \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n}) \, P^{T} と因数分解できる。ただし、\(P\) は実直交行列であり、\(\theta_1, \ldots, \theta_n \in [0,2\pi)\) は実数である。多項式 \(p(t)\) を各 \(j=1,\ldots,n\) に対して \(p(e^{i\theta_j}) = e^{i\theta_j/2}\) を満たすように選び、\(V = p(U)\) とおく。このとき、
\begin{align}
V &= p(U) \notag \\
&= p\!\left(P \, \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n}) \, P^{T}\right) \notag \\
&= P \, p(\mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n})) \, P^{T} \notag \\
&= P \, \mathrm{diag}(e^{i\theta_1/2}, \ldots, e^{i\theta_n/2}) \, P^{T} \notag
\end{align}となる。したがって \(V\) はユニタリかつ対称であり、
\begin{align}
V^2
&= P \, \left(\mathrm{diag}(e^{i\theta_1/2}, \ldots, e^{i\theta_n/2})\right)^2 \, P^{T} \notag \\
&= P \, \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n}) \, P^{T} \notag \\
&= U \notag
\end{align}が成り立つ。最後の主張は (2.4.4.0) より従う。
(b)
(a) により、対称ユニタリ行列 \(S\) が存在して \(S^2 = U^{T}U\) かつ \(S\) は \(U^{T}U\) の多項式で表される。ユニタリ行列
Q = U S^{*} を考える。このとき、
QS = U S^{*} S = U が成り立つ。
また、
Q^{T}Q = S^{*} U^{T} U S^{*} = S^{*} S^2 S^{*} = I となる。したがって \(Q\) は直交かつユニタリであり、先の演習より実直交行列であることが従う。□
演習. \(U \in M_n\) をユニタリ行列とする。このとき、実直交行列 \(Q\) と対称ユニタリ行列 \(S\) が存在して、
U = S Q
となり、さらに \(S\) は \(U U^{T}\) の多項式で表されることを説明せよ。
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