[行列解析2.5.6]

2.5.6

定理 2.5.6.

\( A \in M_n \) がエルミート行列であり、固有値が \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) であるとします。

また、

\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

と定義します。

このとき、次のことが成り立ちます：

1. \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) はすべて実数である。
2. \( A \) はユニタリ対角化可能である。
3. あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して、

A = U \Lambda U^*

証明：

対角行列であるエルミート行列は、対角成分がすべて実数でなければならないため、(a) は (b) と「エルミート行列の集合はユニタリ相似によって閉じている」という事実から従います。

(b) は、エルミート行列が正規行列であることから定理 (2.5.3) により従います。

(c) は (b) の別表現であり、さらに \( \Lambda \) の対角成分が \( A \) の固有値であることも示しています。

第1章における対角化の議論とは対照的に、定理 (2.5.4) および (2.5.6) では固有値の重複性を仮定する必要はなく、(2.5.5) でも対角化可能性を仮定する必要はありません。

固有ベクトルからなる基底（実際には正規直交基底）が正規性によって構造的に保証されているためです。これがエルミート行列や正規行列が非常に重要で、性質が良いとされる理由の一つです。

ここから、実正規行列についての議論に進みます。実正規行列は複素ユニタリ相似変換によって対角化することが可能ですが、実直交相似変換ではどのような特別な形にできるのでしょうか？

実正規行列は実でない固有値を持つことがあるため、実相似変換による対角化は常に可能とは限りません。

しかし、任意の実行列は、実直交相似によって実準三角行列に変換することができます。そして、もしそれが正規であれば、準三角行列は実際には準対角行列でなければなりません。

[行列解析2.5]

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2025.08.27