[行列解析2.4.p25]2次正方行列のユニタリ相似標準形

2.4.P25

2.4.問題25
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2.4.問題25

\( A, B \in \mathbb{M}_2 \)、\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \lambda_2 \) とする。

(1) \( A \) は次の形の行列にユニタリ相似であることを示せ。

\begin{pmatrix} \lambda_1 & x \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}, \quad \\ x \geq 0, \quad x^2 = \operatorname{tr} (A A^*) - |\lambda_1|^2 - |\lambda_2|^2

(2) \( A \) が \( B \) とユニタリ相似であることは、次がすべて成立するときに限ることを示せ。

\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B \\ \operatorname{tr} A^2 = \operatorname{tr} B^2 \\ \operatorname{tr} A A^* = \operatorname{tr} B B^*

ヒント

ユニタリ相似により行列は上三角化でき、対角成分は固有値となる。

さらに \( \operatorname{tr}(A A^*) \) はユニタリ相似で不変であり、非対角成分の大きさを決定する量として用いられる。

(2) では、ユニタリ相似で保存される量が完全な判別条件になることを確認する。

解答例

(1) \( A \in \mathbb{M}_2 \) の固有値を \( \lambda_1, \lambda_2 \) とする。Schur 分解より、あるユニタリ行列 \( U \) が存在して \( U^* A U = T \) と書ける。ただし \( T \) は上三角行列であり、その対角成分は固有値である。したがって \( T = \begin{pmatrix} \lambda_1 & y \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \) と表せる。

さらに、対角成分を保ったまま適当な対角ユニタリ行列を用いて相似変換することにより、非対角成分を実数かつ非負にできる。よって \( y = x \ge 0 \) と仮定してよい。

このとき \( \operatorname{tr}(A A^*) = \operatorname{tr}(T T^*) \) が成り立つ。直接計算すると

T T^* = \begin{pmatrix} |\lambda_1|^2 + x^2 & \lambda_1 \overline{\lambda_2} \\ \overline{\lambda_1} \lambda_2 & |\lambda_2|^2 \end{pmatrix}

となるので、

\operatorname{tr}(A A^*) = |\lambda_1|^2 + |\lambda_2|^2 + x^2

が得られる。よって \( x^2 = \operatorname{tr}(A A^*) - |\lambda_1|^2 - |\lambda_2|^2 \) であり、主張の形が示された。

(2) 必要性を示す。\( A \) と \( B \) がユニタリ相似であるとする。このとき、ユニタリ相似はトレースと積に関する量を保存するので、 \( \operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B \), \( \operatorname{tr} A^2 = \operatorname{tr} B^2 \), \( \operatorname{tr} A A^* = \operatorname{tr} B B^* \) がすべて成り立つ。

十分性を示す。仮定より \( A \) と \( B \) は同じトレースおよび \( \operatorname{tr} A^2 \) をもつので、固有値の組 \( \{ \lambda_1, \lambda_2 \} \) は一致する。(1) により、\( A, B \) はそれぞれ \( \begin{pmatrix} \lambda_1 & x_A \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} \lambda_1 & x_B \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \) にユニタリ相似である。

さらに \( \operatorname{tr} A A^* = \operatorname{tr} B B^* \) より \( x_A^2 = x_B^2 \) が従う。両者は非負であるから \( x_A = x_B \) である。したがって、両者は同一の上三角行列にユニタリ相似であり、\( A \) は \( B \) とユニタリ相似であることが分かる。