2.4.問題21
2.4.P21
\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。
ハンケル行列
K = [\operatorname{tr} A^{i+j-2}]_{i,j=1}^n
は \( A \) に対応するモーメント行列である。常に \( A^0 = I \) とし、\( \operatorname{tr} A^0 = n \) とする。
1.
\( V \in \mathbb{M}_n \) をヴァンデルモンド行列（(0.9.11.1)参照）とし、各列は
[1, \lambda_j, \lambda_j^2, \ldots, \lambda_j^{n-1}]^T, \quad j=1,\ldots,n
であるとき、次を示せ。
K = V V^T
2.
\( \det K = (\det V)^2 = \prod_{i<j} (\lambda_j - \lambda_i)^2 \) であることを説明せよ。この積は \( A \) の判別式である。
3.
\( A \) の固有値がすべて異なることと、モーメント行列 \( K \) が正則（非特異）であることは同値であることを結論づけよ。
4.
\( K \)（ゆえに \( A \) の判別式）は \( A \) の相似変換に不変である理由を説明せよ。
5.
2×2行列
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2
のモーメント行列の行列式を計算し、(1.2.4b)の演習で計算した \( A \) の判別式と一致することを確認せよ。
6.
以下の実行列
A = \begin{pmatrix}
a & b & 0 \\
0 & 0 & c \\
d & -e & 0
\end{pmatrix}
\quad (a,b,c,d,e > 0)
のモーメント行列は
K = \\
\begin{pmatrix}
3 & a & a^2 - 2ce \\
a & a^2 - 2ce & a^3 + 3 b c d \\
a^2 - 2ce & a^3 + 3 b c d & a^4 + 4 b d a c + 2 e^2 c^2
\end{pmatrix}
行列式は
\det K \\ = -27 b^2 c^2 d^2 - 4 c^3 e^3 - 4 a^4 c e \\ \quad - 8 a^2 c^2 e^2 - 4 a^3 b c d - 36 a b c^2 d e
であり、\( A \) は常に3つの異なる固有値を持つことを説明せよ。
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