2.4.問題19
2.4.P19
\( n \geq 3 \), \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とする。
- \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \), \( B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \)、ただし \( A_{11}, B_{11} \in \mathbb{M}_k \)、\( A_{22}, B_{22} \in \mathbb{M}_{n-k} \) とする。
このとき、\( A, B \) が同時に上三角化可能であることは、(i) \( A_{11}, B_{11} \) が同時に上三角化可能であること、かつ (ii) \( A_{22}, B_{22} \) が同時に上三角化可能であることと同値であることを示せ。 - \( m \geq 3 \)、集合 \( F = \{ A_1, \ldots, A_m \} \subset \mathbb{M}_n \) を考え、各 \( A_j = \begin{pmatrix} A_{j1} & A_{j2} \\ 0 & A_{j3} \end{pmatrix} \) で \( A_{j1} \in \mathbb{M}_k \) とする。
このとき、\( F \) が同時に上三角化可能であることは、集合 \( \{ A_{11}, \ldots, A_{m1} \} \) と \( \{ A_{13}, \ldots, A_{m3} \} \) がそれぞれ同時に上三角化可能であることと同値であることを示せ。
コメント