[行列解析2.4.p17]行列が生成する部分代数の次元評価

2.4.P17

2.4.問題17

行列 $ A, B \in \mathbb{M}_n $ とし、$ A, B $ によって生成される部分代数 $ \mathcal{A}(A,B) $ を考える（(1.3.P36)参照）。

これは $ \mathbb{M}_n $ の部分空間であり、ゆえに次が成り立つ：

\dim \mathcal{A}(A,B) \leq n^2

$ n=2 $, $ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $, $ B = A^{\top} $ の場合に $ \dim \mathcal{A}(A,B) = n^2 $ となることを示せ。

また、ケイリー–ハミルトンの定理を用いて、任意の $ A \in \mathbb{M}_n $ について $ \dim \mathcal{A}(A, I) \leq n $ であることを示せ。

さらに、ガーステンハーバーの定理(Gerstenhaber’s theorem)により、$ A, B $ が交換するときは $ \dim \mathcal{A}(A,B) \leq n $ であることを示せ。

Gerstenhaber’s theorem(行列版)

体上の $n \times n$ 行列全体の代数 $M_n$ において、互いに可換な行列によって生成される部分代数の次元は高々 $n$ である。

部分代数 $ \mathcal{A}(A,B) $ は、単位行列を含み、$ A,B $ の積と線形結合で生成される部分空間である。

具体的な行列を与えられた場合は、積 $ AB, BA $ などを計算し、一次独立な元を数えればよい。

一般の場合には、ケイリー–ハミルトンの定理によって高次の冪が低次の冪で表されることや、交換条件のもとでの既知の定理を用いる。

まず $ n=2 $ とし、

A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad B=A^{\top}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

とおく。このとき

AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}

が成り立つ。さらに

I=AB+BA

である。したがって

\{I,A,B,AB\}

は一次独立であり、これらはすべて $ \mathcal{A}(A,B) $ に属する。よって

\dim\mathcal{A}(A,B)=4=n^2

が従う。

次に任意の $ A\in\mathbb{M}_n $ に対して $ \mathcal{A}(A,I) $ を考える。ケイリー–ハミルトンの定理より、$ A $ は自分自身の特性多項式

p_A(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_0I=0

を満たす。したがって $ A^n $ は $ I,A,\dots,A^{n-1} $ の線形結合で表される。同様にすべての高次冪もこれらで表されるので、

\mathcal{A}(A,I)=\mathrm{span}\{I,A,\dots,A^{\,n-1}\}

となり、

\dim\mathcal{A}(A,I)\le n

が従う。

最後に $ A,B $ が交換すると仮定する。Gerstenhaber の定理によれば、互いに交換する行列によって生成される部分代数は、ある一つの行列の多項式で生成される可換部分代数に含まれる。したがってその次元は高々 $ n $ であり、

\dim\mathcal{A}(A,B)\le n

が成り立つ。