2.4.P16
2.4.問題16
\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2 \) の固有値を \( \lambda \) とする。
- \( \mu = a + d - \lambda \) も \( A \) の固有値である理由を説明せよ。
- \( (A - \lambda I)(A - \mu I) = (A - \mu I)(A - \lambda I) = 0 \) であることを説明せよ。
- \( \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} \) の任意の非零列ベクトルは、\( A \) の固有値 \( \mu \) に対応する固有ベクトルであり、任意の非零行ベクトルは \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルの随伴転置であることを導け。
- \( \begin{pmatrix} \lambda - d & b \\ c & \lambda - a \end{pmatrix} \) の任意の非零列ベクトルは、\( A \) の固有値 \( \mu \) に対応する固有ベクトルであり、任意の非零行ベクトルは \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルの随伴転置であることを導け。
ヒント
2×2行列の固有値の和はトレース \( a+d \) に等しいので、一方の固有値を \( \lambda \) とすると他方は \( \mu=a+d-\lambda \) である。
特性多項式を用いて、行列 \( A \) 自身がそれを満たすことを利用する。
すると二つの一次因子に分解できるので、\( (A-\lambda I)(A-\mu I)=0 \) が従う。
また階数を考えると \( A-\lambda I \) は零行列ではなく階数1となり、その列は零でない核に入るので固有ベクトルが得られる。
解答例
1. 行列 \( A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) の特性多項式は次の通りである。
p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-bc)
したがって固有値の和は \( a+d \) に等しい。よって \( \lambda \) が固有値であれば、もう一つの固有値は
\mu=a+d-\lambda
である。
2. ケーリー・ハミルトンの定理より \( A \) は自身の特性多項式を満たす。
A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I=0
特性多項式は固有値 \( \lambda,\mu \) を用いて
x^{2}-(a+d)x+(ad-bc)=(x-\lambda)(x-\mu)
と因数分解できるので、行列に対して
(A-\lambda I)(A-\mu I)=0
が成り立つ。また両因子は \( A \) の多項式であるため可換であり、
(A-\mu I)(A-\lambda I)=0
も成り立つ。
3. \( \lambda \) が固有値であるから \( \det(A-\lambda I)=0 \) である。2×2行列なので \( A-\lambda I \neq 0 \) かつ階数は1である。したがって
A-\lambda I=\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{pmatrix}
の各列ベクトルは互いに比例し、いずれも零ではない。さらに
(A-\mu I)(A-\lambda I)=0
より、\( A-\lambda I \) の各列ベクトル \( v \) は
(A-\mu I)v=0
を満たす。したがってそれらは固有値 \( \mu \) に対応する固有ベクトルである。また同じ等式を右から見ると、任意の非零行ベクトルは \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルの随伴転置になる。
4.
\begin{pmatrix} \lambda-d & b \\ c & \lambda-a \end{pmatrix}
も \( A-\lambda I \) と同様に階数1の行列であり、同じ核をもつ（比例関係にある）ので、その任意の非零列ベクトルも固有値 \( \mu \) に対応する固有ベクトルである。同様に、その任意の非零行ベクトルは固有値 \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルの随伴転置である。
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