2.4.P15
2.4.問題15
行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) に対し、2つの複素変数の多項式を
p_{A,B}(s,t) = \det(t B - s A)
と定める。
(a) \( A, B \) が同時に三角化可能で、\( A = S A_S S^{-1} \), \( B = S B_S S^{-1} \)、ここで \( A_S, B_S \) は上三角行列、対角成分は
\mathrm{diag} A = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n), \quad \mathrm{diag} B = (\beta_1, \ldots, \beta_n)
であるとき、次が成り立つことを示せ。
p_{A,B}(s,t) = \det(t B - s A) = \prod_{i=1}^n (t \beta_i - s \alpha_i)
(b) \( A, B \) が交換すると仮定する。このとき、
p_{A,B}(B,A) = \prod_{i=1}^n (\beta_i A - \alpha_i B) \\
= S \left( \prod_{i=1}^n (\beta_i A_S - \alpha_i B_S) \right) S^{-1}
となり、上三角行列 \(\beta_i A - \alpha_i B\) の \(i,i\) 成分がなぜゼロか説明せよ。
(c) 補題 2.4.3.1 を使って、\( A, B \) が交換するとき \( p_{A,B}(B,A) = 0 \) であることを示せ。この恒等式はケイリー–ハミルトンの定理の二変数一般化であることを説明せよ。
(d) \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が交換するとする。
\( n=2 \) の場合、
p_{A,B}(B,A) \\
= (\det B) A^2 - (\mathrm{tr}(A \, \mathrm{adj} B)) A B + (\det A) B^2
を示せ。
\( n=3 \) の場合は
p_{A,B}(B,A) \\
= (\det B) A^3 - (\mathrm{tr}(A \, \mathrm{adj} B)) A^2 B \\
\quad + (\mathrm{tr}(B \, \mathrm{adj} A)) A B^2 - (\det A) B^3
を示せ。
\( B = I \) の場合はこれらの恒等式は何を意味するか考察せよ。
(e)
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
例 2.4.8.3 と 2.4.8.4 の行列に対して \(\det(t B - s A)\) を計算し、議論せよ。
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
(f) なぜ (b) では交換性を仮定し、(a) ではしなかったか説明せよ。
ヒント
行列 \( A, B \) が同時に三角化可能であるとき、それらの任意の線形結合 \( tB - sA \) も三角化可能であり、その対角成分は各行列の対角成分の線形結合 \( t\beta_i - s\alpha_i \) となる。
これを利用して行列式の積表示を導く。
また、交換する行列に対しては、その積が零行列になることを補題 2.4.3.1（上三角行列の積に関する性質）を用いて示す。
これは、\( B=I \) と置いたときに通常のケイリー・ハミルトンの定理に一致することから、その二変数への拡張と見なせる。
解答例
(a) \( A, B \) が共通の基底 \( S \) により同時に上三角化可能であるとき、任意の複素数 \( s, t \) に対して \( tB - sA = S(tB_S - sA_S)S^{-1} \) も上三角行列である。
上三角行列の行列式はその対角成分の積に等しいため、次が成り立つ。
p_{A,B}(s,t) = \det(S(tB_S - sA_S)S^{-1}) = \det(tB_S - sA_S) = \prod_{i=1}^n (t\beta_i - s\alpha_i)(b) 行列 \( \beta_i A - \alpha_i B \) の \( i,i \) 成分は \( \beta_i \alpha_i - \alpha_i \beta_i = 0 \) となる。
(c) ケイリー・ハミルトンの補題(2.4.3.1) によれば、各 \( i \) 番目の対角成分が \( 0 \) である上三角行列 \( T_i \) の積 \( T_1 T_2 \cdots T_n \) は零行列となる。
\( A, B \) が交換する場合、これらは同時に三角化可能であり、\( p_{A,B}(B,A) \) はこれらの積の形をとるため、\( p_{A,B}(B,A) = 0 \) が成立する。これは \( B=I \) のとき \( p_{A,I}(I,A) = \det(A - sI) = 0 \) となり、通常のケイリー・ハミルトンの定理を意味する。
(d) \( n=2 \) のとき、\( p_{A,B}(s,t) = \det(tB-sA) \) を展開すると \( t^2\det B - st(\mathrm{tr}(A\,\mathrm{adj}B)) + s^2\det A \) となる。ここに \( s=A, t=B \) を代入（ただし交換性を考慮して順序を固定）すれば、与えられた多項式表現が得られる。\( n=3 \) の場合も同様に、行列式の係数が不変量（トレース、余因子行列のトレース、行列式）で表される展開式から導かれる。
(e) 例 2.4.8.3 の行列に対して計算すると：
tB - sA = \begin{pmatrix} 0 & -s \\ t & 0 \end{pmatrix} \implies p_{A,B}(s,t) = st例 2.4.8.4 の行列に対して計算すると：
tB - sA = \begin{pmatrix} 0 & -s & 0 \\ t & 0 & s \\ 0 & t & 0 \end{pmatrix} \implies p_{A,B}(s,t) = 0これらの例では \( AB \neq BA \) であるため、\( p_{A,B}(B,A) = 0 \) は一般には成立しない。
(f) (a) の行列式の積表示は、単に「同時に三角化可能」という行列の構造のみに依存する性質である。一方で、(b) の \( p_{A,B}(B,A)=0 \) という恒等式は、多項式の変数に行列を代入した際に、項の順序が入れ替わっても値が変わらないことを保証するために「交換性」が必要となるためである。
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