2.4.問題15
2.4.P15
行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) に対し、2つの複素変数の多項式を
p_{A,B}(s,t) = \det(t B - s A)
と定める。
\( A, B \) が同時に三角化可能で、\( A = S A_S S^{-1} \), \( B = S B_S S^{-1} \)、ここで \( A_S, B_S \) は上三角行列、対角成分は
\mathrm{diag} A = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n), \quad \mathrm{diag} B = (\beta_1, \ldots, \beta_n)
であるとき、次が成り立つことを示せ。
p_{A,B}(s,t) = \det(t B - s A) = \prod_{i=1}^n (t \beta_i - s \alpha_i)
\( A, B \) が交換すると仮定する。このとき、
p_{A,B}(B,A) = \prod_{i=1}^n (\beta_i A - \alpha_i B) \\
= S \left( \prod_{i=1}^n (\beta_i A_S - \alpha_i B_S) \right) S^{-1}
となり、上三角行列 \(\beta_i A - \alpha_i B\) の \(i,i\) 成分がなぜゼロか説明せよ。
補題 2.4.3.1 を使って、\( A, B \) が交換するとき \( p_{A,B}(B,A) = 0 \) であることを示せ。この恒等式はカイリー–ハミルトンの定理の二変数一般化であることを説明せよ。
\( A, B \in \mathbb{M}_n \) が交換するとする。
\( n=2 \) の場合、
p_{A,B}(B,A) \\
= (\det B) A^2 - (\mathrm{tr}(A \, \mathrm{adj} B)) A B + (\det A) B^2
を示せ。
\( n=3 \) の場合は
p_{A,B}(B,A) \\
= (\det B) A^3 - (\mathrm{tr}(A \, \mathrm{adj} B)) A^2 B \\
\quad + (\mathrm{tr}(B \, \mathrm{adj} A)) A B^2 - (\det A) B^3
を示せ。
\( B = I \) の場合はこれらの恒等式は何を意味するか考察せよ。
例 2.4.8.3 と 2.4.8.4 の行列に対して \(\det(t B - s A)\) を計算し、議論せよ。
なぜ (b) では交換性を仮定し、(a) ではしなかったか説明せよ。
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