[行列解析2.4.p11]交換子の性質とLaffeyの定理による同時上三角化

2.4.P11

2.4.問題11
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2.4.問題11

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とそれらの交換子 \( C = AB - BA \) を考える。

\(\mathrm{tr} C = 0\) を示せ。
行列

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

のとき、交換子は必ずしも零行列的でない（すなわち非零固有値を持つことがある）が、その固有値の和は必ずゼロであることを示せ。

交換子の階数が1以下のとき、零行列的であることを示せ。
交換子の階数が0のとき、\( A, B \) は同時にユニタリ上三角化可能であることを説明せよ。
交換子の階数が1のとき、Laffeyの定理により \( A, B \) は相似変換により同時に上三角化可能であることを示せ。以下は Laffey の定理の証明の概略である。

(1.3.17)

\begin{align} S^{-1}AS &= \begin{bmatrix} S^{-1}S_1B & S^{-1}AS_2 \end{bmatrix} \notag \\ &= \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} I_k \\ 0 \end{bmatrix}B & S^{-1}AS_2 \end{bmatrix} \notag \\ &= \begin{bmatrix} B & C \\ 0 & D \end{bmatrix}, \notag \\ & B \in M_k, \ 1 \le k \le n-1 \notag \end{align}

\( A \) を特異行列（必要に応じて \( A - \lambda I \) に置き換える）と仮定する。もし \( A \) の核空間が \( B \)-不変なら、それは共通の非自明な不変部分空間となり、\( A, B \) は (1.3.17) の形式のブロック行列に同時に相似変換可能である。

もしそうでなければ、ある非零ベクトル \( x \) が存在し \( A x = 0 \) かつ \( A B x \neq 0 \) となる。すると \( C x = A B x \) なので、非零ベクトル \( z \) が存在して \( C = A B x z^T \) と書ける。任意のベクトル \( y \) に対し、\((z^T y) A B x = C y = A B y - B A y\) であり、これより \( B A y = A B (y - (z^T y) x) \)、したがって範囲について \( \mathrm{range}(B A) \subset \mathrm{range}(A B) \subset \mathrm{range}(A) \) となり、範囲 \(\mathrm{range}(A)\) は \( B \)-不変である。

ゆえに \( A, B \) は (1.3.17) 形式のブロック行列に同時に相似変換可能である。

ここで

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}

であり、\( A_{11}, B_{11} \in \mathbb{M}_k \), \( 1 \le k < n \) とする。このとき交換子は

C = \begin{pmatrix} A_{11} B_{11} - B_{11} A_{11} & X \\ 0 & A_{22} B_{22} - B_{22} A_{22} \end{pmatrix}

であり、階数は1である。交換子の対角ブロックの少なくとも一方が零行列なので (2.3.3) を適用できる。

もしある対角ブロックの階数が1で、そのサイズが1より大きければ同様の縮約を繰り返す。

1×1の対角ブロックは階数1を持たない。

ヒント

行列の交換子 \( C = AB - BA \) のトレースは常に \( 0 \) である。

これはトレースの線形性と可換性 \( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) \) から導かれる。

交換子の階数が制限される場合、その行列の構造には強い制約がかかる。

特に階数が \( 1 \) の場合、Laffeyの定理を用いることで、共通の不変部分空間の存在を示し、帰納的に行列を同時上三角化の形式へ導くことができる。

解答例

まず、交換子 \( C = AB - BA \) のトレースが \( 0 \) であることを示す。トレースの性質 \( \mathrm{tr}(X + Y) = \mathrm{tr} X + \mathrm{tr} Y \) および \( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) \) を用いると、

\mathrm{tr} C = \mathrm{tr}(AB - BA) = \mathrm{tr}(AB) - \mathrm{tr}(BA) = 0

次に、与えられた \( A, B \) について交換子を計算する。

AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \\ BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ C = AB - BA = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

この行列 \( C \) の固有値は \( -1, 1 \) であり、零行列的ではないが、固有値の和（トレース）は \( -1 + 1 = 0 \) となっている。

交換子の階数が \( 1 \) 以下のとき、\( \mathrm{tr} C = 0 \) より唯一の非零固有値が存在し得ないため、すべての固有値は \( 0 \) でなければならない。
したがって \( C \) はべき零（零行列的）である。

階数が \( 0 \) のとき、\( AB - BA = 0 \) すなわち \( AB = BA \) である。可換な行列族はユニタリ行列により同時に上三角化可能であるという基本定理が適用される。

階数が \( 1 \) のとき、問題文の概略に従い \( \mathrm{range}(A) \) が \( B \)-不変であることを用いると、\( A, B \) は適切な基底変換 \( S \) により次の形式に同時相似変換される。

S^{-1}AS = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix} \\ S^{-1}BS = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{bmatrix}

このとき、交換子 \( S^{-1}CS \) の階数は \( 1 \) であり、そのブロック対角成分 \( C_{11} = A_{11}B_{11} - B_{11}A_{11} \) と \( C_{22} = A_{22}B_{22} - B_{22}A_{22} \) の階数の和は高々 \( 1 \) である。
一方が零行列であれば可換なケースに帰着し、もう一方が階数 \( 1 \) であればサイズが小さくなった行列に対して同様の手順を繰り返す。

サイズ \( 1 \times 1 \) の行列は階数 \( 1 \) の交換子を持ち得ないため、このプロセスは必ず終了し、最終的に \( A, B \) は同時に上三角行列へと相似変換される。