[行列解析2.4.p9]ニュートンの恒等式の導出とモーメントの関係

2.4.P9

2.4.問題9
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2.4.問題9

単項式多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 \) を零点 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を持つとする。

零点の \( k \) 次モーメントを \(\mu_k = \lambda_1^k + \cdots + \lambda_n^k\)（特に \(\mu_0 = n\)）と定める。

次のニュートンの恒等式の証明を詳述せよ。

k a_{n-k} + a_{n-k+1} \mu_1 + a_{n-k+2} \mu_2 + \\ \quad \quad \cdots + a_{n-1} \mu_{k-1} + \mu_k = 0, \\ \quad k=1,2,\ldots,n-1

a_0 \mu_k + a_1 \mu_{k+1} + \cdots + a_{n-1} \mu_{n+k-1} + \mu_{n+k}\\ = 0, \\ \quad k=0,1,2,\ldots

まず、\(|t| > R = \max_i |\lambda_i|\) のとき、\((t - \lambda_i)^{-1} = t^{-1} + \lambda_i t^{-2} + \lambda_i^2 t^{-3} + \cdots\) となり、

f(t) \\ = \sum_{i=1}^n \frac{1}{t - \lambda_i} = n t^{-1} + \mu_1 t^{-2} + \mu_2 t^{-3} + \cdots

が成立することを示せ。つぎに \( p'(t) = p(t) f(t) \) を示し、係数比較を行え。

これにより次数 \( n \) の単項式多項式の零点の最初の \( n \) 個のモーメントがその係数を一意に定めることがわかる。ニュートンの恒等式の行列解析的アプローチは (3.3.P18) を参照。

ヒント

多項式の零点と係数の関係を調べるために、母関数としての微分対数関数 \( f(t) = p'(t)/p(t) \) を利用する。

まず、\( f(t) \) を部分分数分解し、各項を幾何級数（等比級数）として展開することで、モーメント \( \mu_k \) を係数に持つローラン展開を得る。

次に、等式 \( p'(t) = p(t) f(t) \) の両辺において \( t \) の各次数の係数を比較することで、目的のニュートンの恒等式を導出する。

解答例

多項式 \( p(t) = \prod_{i=1}^n (t - \lambda_i) \) に対して、その対数微分を考えると次が得られる。

f(t) = \frac{p'(t)}{p(t)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{t - \lambda_i}

領域 \( |t| > \max_i |\lambda_i| \) において、各項を次のように展開する。

\frac{1}{t - \lambda_i} = \frac{1}{t(1 - \lambda_i/t)} = \frac{1}{t} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{\lambda_i}{t} \right)^k = \sum_{k=0}^{\infty} \lambda_i^k t^{-(k+1)}

これをすべての \( i \) について足し合わせることで、モーメント \( \mu_k = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k \) を用いた \( f(t) \) の表現が得られる。

f(t) = \sum_{i=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} \lambda_i^k t^{-(k+1)} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i^k \right) t^{-(k+1)} = \sum_{k=0}^{\infty} \mu_k t^{-(k+1)}

次に、\( p'(t) = p(t) f(t) \) の係数を比較する。\( p(t) = \sum_{j=0}^n a_j t^j \) （ただし \( a_n = 1 \)）を用いると、

\sum_{j=1}^n j a_j t^{j-1} = \left( \sum_{m=0}^n a_m t^m \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \mu_k t^{-(k+1)} \right)

まず、\( k = 1, \dots, n-1 \) について \( t^{n-k-1} \) の係数を比較する。左辺の係数は \( (n-k) a_{n-k} \) である。右辺において積の結果 \( t^{n-k-1} \) となる組み合わせは、\( a_{n-k+m} t^{n-k+m} \) と \( \mu_m t^{-(m+1)} \) （\( m=0, \dots, k \)）の積である。