2.4.問題9
2.4.P9
単項式多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 \) を零点 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を持つとする。
零点の \( k \) 次モーメントを \(\mu_k = \lambda_1^k + \cdots + \lambda_n^k\)（特に \(\mu_0 = n\)）と定める。
次のニュートンの恒等式の証明を詳述せよ。
k a_{n-k} + a_{n-k+1} \mu_1 + a_{n-k+2} \mu_2 + \\
\quad \quad \cdots + a_{n-1} \mu_{k-1} + \mu_k = 0, \\
\quad k=1,2,\ldots,n-1
a_0 \mu_k + a_1 \mu_{k+1} + \cdots + a_{n-1} \mu_{n+k-1} + \mu_{n+k}\\
= 0, \\
\quad k=0,1,2,\ldots
まず、\(|t| > R = \max_i |\lambda_i|\) のとき、\((t - \lambda_i)^{-1} = t^{-1} + \lambda_i t^{-2} + \lambda_i^2 t^{-3} + \cdots\) となり、
f(t) \\
= \sum_{i=1}^n \frac{1}{t - \lambda_i} = n t^{-1} + \mu_1 t^{-2} + \mu_2 t^{-3} + \cdots
が成立することを示せ。つぎに \( p'(t) = p(t) f(t) \) を示し、係数比較を行え。
これにより次数 \( n \) の単項式多項式の零点の最初の \( n \) 個のモーメントがその係数を一意に定めることがわかる。ニュートンの恒等式の行列解析的アプローチは (3.3.P18) を参照。
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