2.4.問題2
2.4.P2
なぜ上三角行列の階数（rank）は、その非零の主対角成分の数以上であるか説明せよ。行列 \( A = [a_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) がちょうど \( k \geq 1 \) 個の非零固有値 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) を持つとする。\( A = U T U^* \) と書け、ここで \( U \) はユニタリ行列、\( T = [t_{ij}] \) は上三角行列である。以下を示せ。
階数 \( \mathrm{rank}\, A \geq k \) であり、\( A \) が対角化可能なとき等号成立。
不等式
\left| \prod_{i=1}^k \lambda_i \right|^2 \leq k \sum_{i=1}^k |\lambda_i|^2 = k \sum_{i=1}^n |t_{ii}|^2 \\
\leq k \sum_{i,j=1}^n |t_{ij}|^2 = k \sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2
このことから
\mathrm{rank}\, A \geq \frac{|\mathrm{tr}\, A|^2}{\mathrm{tr}\, A^* A}
が成り立ち、等号成立は \( T = a I_k \oplus 0_{n-k} \)
（ただし \( a \in \mathbb{C}, a \neq 0 \)）のときに限る。
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