2.4.P1
2.4.問題1
行列 \( A = [a_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( n \) 個持つと仮定する。
定理 (2.4.9.2) を用いて、ある \(\delta > 0\) が存在し、すべての行列 \( B = [b_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) で
\sum_{i,j=1}^n |a_{ij} - b_{ij}|^2 < \delta
を満たすものは、異なる固有値を \( n \) 個持つことを示せ。さらに、固有値が異なる行列の集合は \(\mathbb{M}_n\) の開集合であることを結論付けよ。
ヒント
行列が \( n \) 個の相異なる固有値を持つための必要十分条件は、その固有多項式の判別式 \( D(A) \) が \( 0 \) でないことである。
判別式は行列の成分 \( a_{ij} \) の多項式として表されるため、写像 \( f: \mathbb{M}_n \to \mathbb{C} \) を \( f(A) = D(A) \) と定義すると、これは連続関数となる。
連続関数による開集合の逆像が開集合であることを利用して証明を構成する。
解答例
行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) の固有多項式を \( P_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) \) とおく。
この多項式が相異なる \( n \) 個の根を持つための必要十分条件は、その判別式 \( D(A) \) が \( D(A) \neq 0 \) を満たすことである。
判別式 \( D(A) \) は、行列 \( A \) の成分 \( a_{ij} \) に関する多項式として記述される。
具体的には、\( P_A(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_0 \) の係数 \( c_k \) が \( A \) の成分の多項式であり、判別式はこれらの係数の多項式（例えばシルベスター行列の行列式など）として定義されるためである。
ここで、関数 \( f: \mathbb{M}_n \to \mathbb{C} \) を次のように定義する。
f(A) = D(A)
多項式関数は連続であるから、\( f \) は連続関数である。
問題の仮定より、行列 \( A \) は相異なる \( n \) 個の固有値を持つため、\( f(A) \neq 0 \) である。
連続関数の定義（イプシロン・デルタ論法）より、任意の \( \epsilon > 0 \) に対して、ある \( \delta > 0 \) が存在し、
\sqrt{\sum_{i,j=1}^n |a_{ij} - b_{ij}|^2} < \delta \implies |f(A) - f(B)| < \epsilon
が成り立つ。
ここで \( \epsilon = |f(A)| > 0 \) と選べば、三角不等式より
|f(B)| = |f(A) - (f(A) - f(B))| \\ \geq |f(A)| - |f(A) - f(B)| \\ \gt |f(A)| - |f(A)| = 0
となり、\( f(B) \neq 0 \) が導かれる。
したがって、指定された範囲内にあるすべての行列 \( B \) もまた相異なる \( n \) 個の固有値を持つ。
相異なる \( n \) 個の固有値を持つ行列の集合を \( \mathcal{S} \) とすると、
\mathcal{S} = \{ B \in \mathbb{M}_n \mid f(B) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \} = f^{-1}(\mathbb{C} \setminus \{0\})と表せる。
複素平面において集合 \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \) は開集合であり、連続関数による開集合の逆像は開集合であるから、 \( \mathcal{S} \) は \( \mathbb{M}_n \) の開集合であることが結論付けられる。
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