2.4.7
2.4.7 すべての正方行列はほとんど対角化可能である。
シュールの結果のもう一つの利用方法として、すべての複素正方行列が「ほとんど対角化可能」であることを、2つの意味で理解できることが挙げられる。
第一の意味は、任意の行列に任意に近い位置に対角化可能な行列が存在するというものである。
第二の意味は、任意の行列が、非対角成分を任意に小さくできる上三角行列に相似である、というものである。
定理 2.4.7.1.
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) とする。任意の \( \epsilon \gt 0 \) に対して、互いに異なる \( n \) 個の固有値を持ち（したがって対角化可能である）行列 \( A(\epsilon) = [a_{ij}(\epsilon)] \in M_n \) が存在し、次を満たす。
\sum_{i,j=1}^n |a_{ij} - a_{ij}(\epsilon)|^2 \lt \epsilon
証明.
ユニタリ行列 \( U \in M_n \) をとり、\( U^* A U = T \) が上三角行列となるようにする。ここで
E = \mathrm{diag}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n)
とし、各 \(\varepsilon_i\) は \(|\varepsilon_i| \lt (\epsilon/n)^{1/2}\) かつ \(t_{ii} + \varepsilon_i \neq t_{jj} + \varepsilon_j\) （\(i \neq j\)）となるように選ぶ。（これは可能である。）すると、\(T+E\) の固有値は \(t_{11}+\varepsilon_1, \ldots, t_{nn}+\varepsilon_n\) であり、互いに異なる。
したがって、\(A+UEU^*\) も同様に異なる固有値をもち、\(T+E\) に相似である。
ここで \(A(\epsilon) = A + U E U^*\) とすると、\(A - A(\epsilon) = -UEU^*\) であるから、(2.2.2) より
\sum_{i,j} |a_{ij} - a_{ij}(\epsilon)|^2 = \sum_{i=1}^n |\varepsilon_i|^2 \lt n \cdot \frac{\epsilon}{n} = \epsilon
が成立する。 ■
演習.
(2.4.6) の条件 \(\sum_{i,j} |a_{ij} - a_{ij}(\epsilon)|^2 \lt \epsilon\) は、\(\max_{i,j} |a_{ij} - a_{ij}(\epsilon)| \lt \epsilon\) に置き換えることができることを示せ。
ヒント：定理を \(\epsilon^2\) を使って適用し、もし平方和が \(\epsilon^2\) より小さければ、それぞれの項も絶対値で \(\epsilon\) より小さいことに注意せよ。
定理 2.4.7.2.
\( A \in M_n \) とする。任意の \( \epsilon \gt 0 \) に対して、非特異行列 \( S_\epsilon \in M_n \) が存在し、
S_\epsilon^{-1} A S_\epsilon = T_\epsilon = [t_{ij}(\epsilon)]
が上三角行列となり、かつ \( i \lt j \) について \(|t_{ij}(\epsilon)| \leq \epsilon\) が成り立つ。
証明.
まずシュールの定理を適用して、ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と上三角行列 \( T \in M_n \) を得る。ただし \( U^* A U = T \) である。非零スカラー \(\alpha\) に対して
D_\alpha = \mathrm{diag}(1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{n-1})
と定義する。また \(t = \max_{i \lt j} |t_{ij}|\) とする。ここで \(\epsilon \lt 1\) の場合を示せば十分である。もし \(t \leq 1\) なら、\(S_\epsilon = U D_\epsilon\) とする。もし \(t \gt 1\) なら、\(S_\epsilon = U D_{1/t} D_\epsilon\) とする。いずれの場合も、この \(S_\epsilon\) により定理の主張が成り立つ。
具体的に、もし \(t \leq 1\) ならば、計算により \(t_{ij}(\epsilon) = t_{ij} \epsilon^{j-i}\) となり、その絶対値は \(\epsilon^{j-i}\) 以下であり、\(i \lt j\) ならばこれはさらに \(\epsilon\) 以下となる。もし \(t \gt 1\) ならば、相似変換 \(D_{1/t}\) により行列が前処理され、すべての非対角成分は絶対値で 1 以下になる。 ■
演習.
(2.4.7.2) の変形を次のように示せ：もし \(A \in M_n\)、\(\epsilon \gt 0\) なら、非特異行列 \( S_\epsilon \in M_n \) が存在し、
S_\epsilon^{-1} A S_\epsilon = T_\epsilon = [t_{ij}(\epsilon)]
が上三角行列となり、\( j \gt i \) について \(|t_{ij}(\epsilon)| \leq \epsilon\) が成り立つ。ヒント：(2.4.7) を \([2/n(n-1)] \epsilon\) を用いて適用せよ。
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