[行列解析2.3.p11]固有値がすべて0の行列が冪零となることの証明

2.3.P11

2.3.問題11

(2.3.1) を用いて、もし \( A \in M_n \) の固有値がすべて0であれば \( A^n = 0 \) であることを証明せよ。

2.3.1（シュールの標準形・シュール三角化）

任意の順序で固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) をもつ行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) を考えると、

(a)ユニタリ行列 \( U = [x\ u_2\ \dots\ u_n] \in \mathbb{M}_n \) が存在し、

U^* A U = T = [t_{ij}]

となって、\( T \) は上三角行列であり、対角成分は \( t_{ii} = \lambda_i,\ i = 1, \dots, n \) である。

(b)もし \( A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が実固有値しか持たないならば、実直交行列 \( Q = [x\ q_2\ \dots\ q_n] \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が存在して、

Q^{\top} A Q = T = [t_{ij}]

が成り立ち、\( T \) は上三角行列で対角成分は \( t_{ii} = \lambda_i,\ i = 1, \dots, n \) である。

任意の正方行列はユニタリ行列によって上三角行列に相似になる（シュールの三角化）ことを用いる。

固有値がすべて0であることから三角行列の対角成分がすべて0になることに注意する。

そのような上三角行列は冪を取ると十分大きい冪で0行列になる。

最後に相似変換は冪を保つことを用いて \( A^n=0 \) を示す。

\( A\in M_n \) の固有値がすべて0であると仮定する。

シュールの標準形によれば、あるユニタリ行列 \( Q \) が存在して、行列 \( A \) は上三角行列 \( T \) と次のような関係をもつ。

A = Q T Q^{*}

ここで \( T \) は上三角行列であり、その対角成分は \( A \) の固有値に等しい。仮定より固有値はすべて0であるから、\( T \) の対角成分はすべて0になる。したがって \( T \) は対角成分が0の上三角行列、すなわち狭義上三角行列である。

狭義上三角行列の冪は、次数が \( n \) 以上になると0行列になることが知られている（上位成分のみが残り、掛け算を繰り返すと最上段から順に消えていくためである）。したがって

T^{n} = 0

を得る。両辺を相似変換に対応させると、次の等式が成り立つ。

A^{n} = (Q T Q^{*})^{n} = Q T^{n} Q^{*}

上で得た \( T^{n}=0 \) を代入すると、

A^{n} = Q \, 0 \, Q^{*} = 0

よって \( A^{n}=0 \) が示された。すなわち、固有値がすべて0である行列 \( A \) は冪零行列である。