[行列解析2.3.p10]行列式の評価とアダマール不等式の活用

2.3.P10

2.3.問題10

\( A = [a_{ij}] \in M_n \)、\( c = \max \{ |a_{ij}| : 1 \le i, j \le n \} \) とするとき、
次の不等式

|\det A| \le c^n n^{n/2}

を以下の2通りで示せ：

(a) 固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) を用い、

|\det A|^2 = |\lambda_1 \cdots \lambda_n|^2 \le \left( \frac{|\lambda_1|^2 + \cdots + |\lambda_n|^2}{n} \right)^n \le \left( \frac{\sum_{i,j} |a_{ij}|^2}{n} \right)^n \le (nc^2)^n

(b) (2.1.P23) のアダマールの不等式を用いる。

アダマールの不等式

|\det A| \le \prod_{i=1}^{n} \|a_i\|_2

(a) 固有値の積が行列式に等しいことと、相加平均と相乗平均の不等式を用いる。

さらに固有値の二乗和が成分の二乗和以下であることを示す。

(b) 各行ベクトルの長さの積で行列式の絶対値を評価するアダマールの不等式を用い、各成分の最大値 \(c\) によってノルムを評価する。

行列 \(A=[a_{ij}]\in M_n\) とし、\(c=\max\{|a_{ij}|\}\) とおく。不等式

|\det A|\le c^n n^{n/2}

を (a) と (b) の2通りで示す。

(a) 固有値を用いる証明を示す。まず固有値を \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) とすると、

\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n

が成り立つ。したがって

|\det A|^2=|\lambda_1\cdots\lambda_n|^2

となる。ここで相加平均と相乗平均の不等式より

|\lambda_1\cdots\lambda_n|^2 \le\left(\frac{|\lambda_1|^2+\cdots+|\lambda_n|^2}{n}\right)^n

を得る。一方、\(\mathrm{tr}(A^*A)=\sum_{i,j}|a_{ij}|^2\) であり、スペクトル定理より

|\lambda_1|^2+\cdots+|\lambda_n|^2\le\sum_{i,j}|a_{ij}|^2

が成り立つ。したがって

|\det A|^2\le\left(\frac{\sum_{i,j}|a_{ij}|^2}{n}\right)^n

となる。また \(|a_{ij}|\le c\) より \(\sum_{i,j}|a_{ij}|^2\le n^2 c^2\) であるから、

|\det A|^2\le (nc^2)^n

すなわち

|\det A|\le c^n n^{n/2}

が得られ、(a) の証明が完成する。

(b) アダマールの不等式を用いる。行列 \(A\) の各行を \(r_1,\dots,r_n\) とするとき、アダマールの不等式より

|\det A|\le \|r_1\|_2\cdots\|r_n\|_2

が成り立つ。各行ベクトルの成分はすべて絶対値が \(c\) 以下であるから、

\|r_k\|_2\le\sqrt{n}\,c\qquad (k=1,\dots,n)

である。したがって

|\det A|\le (\sqrt{n}\,c)^n=c^n n^{n/2}

となり、求める不等式が得られる。以上により (a) と (b) の2通りで主張が示された。