[行列解析2.3.p4]可換でなくても同時上三角化できる例

2.3.問題4

次の行列族 \( \mathcal{F} \) を考える：

\mathcal{F} = \left\{ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \right\}

このとき、(2.3.3) における可換性の仮定は、同時に単位的上三角化可能であるための十分条件ではあるが、必要条件ではないことを示せ。

与えられた行列族 \( \mathcal{F} \) が可換でないことを確認し、その一方で二つの行列が同時に上三角行列へ変換できることを示す。

ここでは、既に各行列が上三角行列と同値であることに注目する。

特に、基底を変更しなくても最初から上三角行列になっていることを確認すればよい。

まず行列族 \( \mathcal{F} \) を次のようにおく：

\mathcal{F}= \left\{ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \right\}

まず、この二つの行列が可換でないことを示す。行列

A= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

とおくと、\(AB\) と \(BA\) を計算すると次のようになる。

AB= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

BA= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

したがって

AB \ne BA

よって、行列族 \( \mathcal{F} \) は可換ではない。

次に、同時に上三角化できることを示す。ここで重要なのは、各行列 \(A\) および \(B\) がすでに上三角行列であることである。実際、

A= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

はいずれも下三角成分が 0 であり、すでに上三角行列となっている。

したがって、単位行列 \(U=I\) をとれば

U^{*}AU = A,\quad U^{*}BU = B

はいずれも上三角行列である。すなわち、可換でないにもかかわらず同時に上三角化可能である。

以上より、(2.3.3) における「可換である」という仮定は、同時に上三角化可能であるための十分条件ではあるが必要条件ではないことがわかる。