2.2.P10
2.2.問題10
\( n \geq 2 \) を満たす整数とし、\( \omega = e^{2\pi i / n} \) と定義します。
(a) 1のn乗根に関する和の計算
次の式が成り立つ理由を説明してください：
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k\ell} =
\begin{cases}
0 & \text{if } \ell \not\equiv 0 \pmod{n} \\
n & \text{if } \ell = mn,\; m \in \mathbb{Z}
\end{cases}
(b)フーリエ行列の基本的性質
\(\displaystyle F_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \left[\omega^{(i-1)(j-1)} \right]_{i,j=1}^n \) と定義される \( n \times n \) のフーリエ行列について、次のことを示してください：
- \( F_n \) は対称行列である。
- \( F_n \) はユニタリ行列である。
- \( F_n \) は自己逆行列（coninvolutory）であり、以下が成り立つ：
F_n F_n^* = F_n^* F_n = I
(c)基本巡回置換行列がユニタリである理由
C_n =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{bmatrix}
\( C_n \) を基本巡回置換行列（式 0.9.6.2）とします。
\( C_n \) がユニタリ（すなわち実直交）である理由を説明してください。
(d)巡回置換行列のフーリエ対角化
\( D = \mathrm{diag}(1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}) \) とするとき、次を示してください：
C_n F_n = F_n D \Rightarrow C_n = F_n D F_n^*, \\ \quad \\ C_n^k = F_n D^k F_n^* \quad (k = 1, 2, \dots)
(e)巡回行列のフーリエによるユニタリ対角化
A =
\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\
a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1
\end{bmatrix}
A = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} C_n^k
\( A \) を式 (0.9.6.1) のような巡回行列とし、先頭行が \([a_1, \dots, a_n]\) であり、式 (0.9.6.3) による和として表されているとします。このとき、次を示してください：
A = F_n \Lambda F_n^*
ただし、\( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \) で、\( A \) の固有値 \( \lambda_\ell \) は次の式で与えられます：
\lambda_\ell = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} \omega^{k(\ell - 1)}, \quad \ell = 1, \dots, n
さらに、\( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) はベクトル \( n^{1/2} F_n^* A e_1 \) の成分でもあります。つまり、フーリエ行列はすべての巡回行列に対して明示的なユニタリ対角化を与えます。
(f)巡回行列の正則性とバランス条件
ある \( i \in \{1, \dots, n\} \) に対して、次が成り立つとします：
|a_i| > \sum_{j \ne i} |a_j|
A = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} C_n^k
このとき式 (2.2.9) から \( A \) が正則（nonsingular）であることを導いてください。
逆にこの基準を次のように言い換えることもできます：
巡回行列 \( A \) が特異（singular）であり、先頭行が \([a_1, \dots, a_n]\) であるならば、その行ベクトルはバランスしている（balanced）必要があります。詳細は (7.2.P28) を参照。
ベクトル \( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) がバランスしているとは、各 i に対して \( |x_i| \le \sum_{j\ne i} |x_j| \) を満たすことです。
(g)フーリエ行列の実部と虚部の成分
\( F_n = C_n + i S_n \) と表されるとき、\( C_n \) および \( S_n \) は実行列です。
これらの行列の成分を求めてください。
また、行列 \( H_n = C_n + S_n \) を \( n \times n \) のハートレー行列（Hartley matrix）と呼びます。
(h)フーリエ行列の実部・虚部の性質とハートレー行列
次のことを示してください：
C_n^2 + S_n^2 = I,\\ C_n S_n = S_n C_n = 0
さらに、\( H_n \) は対称行列であり、実直交行列です。
(i)反転行列とハートレー行列の中心対称性
K_n =
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 1 & 0 \\
\vdots & \cdot & \vdots & \vdots \\
1 & \dots & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{ij}
\end{bmatrix}
\in \mathbb{M}_n
\( K_n \) を反転行列（reversal matrix, 式 0.9.5.1）とします。
このとき、次の性質を示してください：
C_n K_n = K_n C_n = C_n, \quad \\ S_n K_n = K_n S_n = -S_n,\quad \\ H_n K_n = K_n H_n
したがって、\( C_n, S_n, H_n \) は中心対称（centrosymmetric）行列です。
また、任意の行列 \( A = E + K_n F \) において、\( E, F \) は実巡回行列、\( E = E^\mathrm{T}, F = -F^\mathrm{T} \) であるとします。このとき \( H_n A H_n = \Lambda \) は対角行列であり、\( A \) の固有値はベクトル \( n^{1/2} H_n A e_1 \) の成分に等しくなります。
特に、ハートレー行列 \( H_n \) はすべての実対称巡回行列に対して明示的な実直交対角化を提供します。
解答例
(a)1のn乗根に関する和の計算
整数 \(n ≥ 2\) に対して、次の複素数を定義する。
\omega = e^{2\pi i / n}
このとき、次の和を考える。
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k\ell}
この和は、公比 \(ω^ℓ\) の等比数列であり、次の形で表される。
1 + \omega^\ell + \omega^{2\ell} + \cdots + \omega^{(n-1)\ell}
1. ℓ ≡ 0 (mod n) の場合
\(ℓ = mn\)（\(m\) は整数）とすると、次が成り立つ。
\omega^\ell = \omega^{mn} = (\omega^n)^m = 1
したがって、すべての項が 1 となり、和は n に等しい。
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k\ell} = n
2. ℓ ≠ 0 (mod n) の場合
この場合、\(ω^ℓ ≠ 1\) が成り立つ。等比数列の和の公式を用いると、次を得る。
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k\ell}
= \frac{1 - (\omega^\ell)^n}{1 - \omega^\ell}
ここで、\(ω^n = 1\) より分子は \(0\) となる。
(\omega^\ell)^n = \omega^{\ell n} = 1
分母は \(0\) ではないため、和は 0 となる。
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k\ell} = 0
3.結論
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k\ell}
=
\begin{cases}
0 & \ell \not\equiv 0 \pmod n \\
n & \ell = mn,\ m \in \mathbb{Z}
\end{cases}
この結果は、\(n\) 次の 1 の根がもつ直交性を表す基本的な性質である。
(b)フーリエ行列の基本的性質
\(n ≥ 2\) を整数とし、\(ω = e^{2πi/n}\) とする。\(n × n\) 行列 \(F_n\) を次で定義する。
F_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \left[ \omega^{(i-1)(j-1)} \right]_{i,j=1}^n
以下では、このフーリエ行列 \(F_n\) が満たす基本的な性質を順に示す。
1. \(F_n\)は対称行列である
行列の (i, j) 成分と (j, i) 成分を比較する。
(F_n)_{ij} = \frac{1}{\sqrt{n}} \omega^{(i-1)(j-1)}
積の可換性より (i − 1)(j − 1) = (j − 1)(i − 1) が成り立つため、
(F_n)_{ij} = (F_n)_{ji}
となる。したがって \(F_n\) は対称行列である。
2. \(F_n\)はユニタリ行列である
\(F_n\) の随伴行列 \(F_n^*\) の (i, j) 成分は次で与えられる。
(F_n^*)_{ij} = \frac{1}{\sqrt{n}} \omega^{-(i-1)(j-1)}
積 \(F_n F_n ^*\) の (i, j) 成分を計算すると、
(F_n F_n^*)_{ij}
= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \omega^{(i-1)(k-1)} \omega^{-(j-1)(k-1)}
指数をまとめると、
(F_n F_n^*)_{ij}
= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \omega^{(i-j)k}
\(n\) 次の 1 の根の和の性質より、i = j のとき和は n、i ≠ j のとき和は 0 となる。
(F_n F_n^*)_{ij} = \delta_{ij}
よって \(F_n F_n ^*=I\) が成り立ち、 \(F_n\) はユニタリ行列である。
3. \(F_n\)は自己逆行列である
前節の結果から、
F_n F_n^* = I
が成り立つ。また、同様の計算により、
F_n^* F_n = I
も得られる。したがって \(F_n\)は随伴行列を逆行列としてもち、自己逆行列（coninvolutory）である。
(c)基本巡回置換行列がユニタリである理由
\( C_n \) を、次で定義される基本巡回置換行列とする。
C_n =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{bmatrix}
この行列は、標準基底ベクトルを巡回的に入れ替える置換行列である。
1. 行ベクトルと列ベクトルの構造
行列 \( C_n \) の各列には、1 がちょうど 1 つだけ含まれ、それ以外の成分はすべて 0 である。また、異なる列に含まれる 1 の位置は互いに異なる。
したがって、各列ベクトルはユークリッドノルムが 1 の実ベクトルであり、互いに直交している。
2. 転置行列との積
\( C_n \) は実行列であるため、随伴行列は転置行列に一致し、
\( C_n^* = C_n^T \) が成り立つ。
列ベクトルが正規直交系をなしていることから、行列の積は次を満たす。
C_n^T C_n = I
同様に、行ベクトルについても正規直交性が成り立つため、
C_n C_n^T = I
3. 結論
以上より、\( C_n^T C_n = C_n C_n^T = I \) が成り立つ。したがって \( C_n \) はユニタリ行列であり、実行列であることから実直交行列でもある。
(d)巡回置換行列のフーリエ対角化
整数 \( n \ge 2 \) に対し、\( \omega = e^{2\pi i / n} \) とする。フーリエ行列 \( F_n \) を
F_n = n^{-1/2} [ \omega^{(i-1)(j-1)} ]_{i,j=1}^n
で定義し、対角行列 \( D \) を次で定める。
D = \mathrm{diag}(1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1})
このとき、基本巡回置換行列 \( C_n \) について、以下を示す。
1. \( C_n F_n = F_n D \) を示す
行列積 \( C_n F_n \) は、\( F_n \) の行を 1 行ずつ上に巡回シフトする作用をもつ。すなわち、\( (C_n F_n)_{ij} \) は \( F_n \) の \( (i+1,j) \) 成分（ただし最下行は第 1 行）に等しい。
一方、\( F_n \) の成分表示より
(F_n)_{ij} = n^{-1/2} \omega^{(i-1)(j-1)}
であるから、
(C_n F_n)_{ij}
= n^{-1/2} \omega^{i(j-1)}
= n^{-1/2} \omega^{(i-1)(j-1)} \omega^{j-1}
ここで \( \omega^{j-1} \) は \( D \) の第 \( j \) 対角成分である。したがって、
(C_n F_n)_{ij} = (F_n D)_{ij}
が成り立ち、行列として
C_n F_n = F_n D
2. \( C_n = F_n D F_n^* \) を示す
前節の結果 \( C_n F_n = F_n D \) の両辺の右から \( F_n^* \) を掛ける。
C_n F_n F_n^* = F_n D F_n^*
\( F_n \) はユニタリ行列であるため \( F_n F_n^* = I \) が成り立つ。よって、
C_n = F_n D F_n^*
3. \( C_n^k = F_n D^k F_n^* \) を示す
前節の結果を用いると、
C_n^k = (F_n D F_n^*)^k
ここで \( F_n^* F_n = I \) を用いて積を整理すると、
C_n^k = F_n D^k F_n^*
が得られる。以上より、すべての正整数 \( k \) に対して主張が成り立つ。
(e)巡回行列のフーリエによるユニタリ対角化
整数 \( n \ge 2 \) とし、\( \omega = e^{2\pi i / n} \) とする。先頭行が \( [a_1, a_2, \dots, a_n] \) で与えられる巡回行列 \( A \) を考える。
A =
\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\
a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1
\end{bmatrix}
この巡回行列は、基本巡回置換行列 \( C_n \) を用いて、次の和として表される。
A = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} C_n^k
1. 基本巡回置換行列のフーリエ対角化
フーリエ行列 \( F_n \) と対角行列 \( D \) を
F_n = n^{-1/2} [ \omega^{(i-1)(j-1)} ]_{i,j=1}^n
D = \mathrm{diag}(1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1})
と定義すると、すでに示した結果より
C_n = F_n D F_n^*
が成り立つ。よって任意の正整数 \( k \) に対して、
C_n^k = F_n D^k F_n^*
2. 巡回行列 \( A \) の対角化
式 \( A = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} C_n^k \) に上の結果を代入すると、
A
= \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} F_n D^k F_n^*
= F_n \left( \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} D^k \right) F_n^*
ここで \( D \) は対角行列であるため、括弧内は対角行列となる。これを
\Lambda = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} D^k
とおくと、
A = F_n \Lambda F_n^*
3. 固有値の具体的表示
\( D^k \) の第 \( \ell \) 対角成分は \( \omega^{k(\ell-1)} \) である。したがって \( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \) の各成分は、
\lambda_\ell
= \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} \omega^{k(\ell-1)},
\quad \ell = 1, 2, \dots, n
で与えられる。これらは行列 \( A \) の固有値である。
4. 固有値とフーリエ変換との関係
標準基底ベクトル \( e_1 = (1,0,\dots,0)^T \) を用いると、
A e_1 = (a_1, a_2, \dots, a_n)^T
となる。これに \( F_n^* \) を作用させると、
n^{1/2} F_n^* A e_1
= (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)^T
が得られる。すなわち、固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) は \( n^{1/2} F_n^* A e_1 \) の成分として与えられる。
5.結論
以上より、フーリエ行列 \( F_n \) は任意の巡回行列 \( A \) に対して
A = F_n \Lambda F_n^*
という明示的なユニタリ対角化を与えることが示された。
(f)巡回行列の正則性とバランス条件
整数 \( n \ge 2 \) とし、先頭行が \( [a_1, a_2, \dots, a_n] \) で与えられる巡回行列 \( A \) を考える。
前節で示したように、\( A \) の固有値は
\lambda_\ell = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} \omega^{k(\ell-1)}, \quad \ell = 1, \dots, n
で与えられる。ここで \( \omega = e^{2\pi i/n} \) は \( n \) 次の 1 の原始根である。
1. 不等式条件から正則性を導く
ある \( i \in \{1, \dots, n\} \) に対して
|a_i| > \sum_{j \ne i} |a_j|
が成り立つと仮定する。各固有値 \( \lambda_\ell \) について、三角不等式を用いると
|\lambda_\ell|
= \left| \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} \omega^{k(\ell-1)} \right|
\ge |a_i| - \sum_{j \ne i} |a_j|
が得られる。仮定より右辺は正であるため、すべての \( \ell = 1, \dots, n \) に対して
\( \lambda_\ell \ne 0 \) が成り立つ。
巡回行列 \( A \) の固有値はすべて上式で与えられるため、零固有値をもたない。したがって
\( A \) は正則（nonsingular）である。
2. 逆の言い換え：バランス条件
以上の結果を対偶として言い換える。
もし巡回行列 \( A \) が特異（singular）であるならば、 ある \( \ell \) に対して \( \lambda_\ell = 0 \) が成り立つ。
すると三角不等式より、
|a_i|
\le \sum_{j \ne i} |a_j|
\quad \text{for all } i = 1, \dots, n
が必要条件となる。
すなわち、いずれの成分 \( a_i \) も他の成分の絶対値の和を厳密に上回ることはできない。
この条件は、先頭行ベクトル \( [a_1, a_2, \dots, a_n] \) がバランスしている（balanced）ことを意味する。
3.結論
ある成分 \( a_i \) が他の成分の絶対値の総和よりも大きい場合、巡回行列 \( A \) は正則である。 逆に、巡回行列 \( A \) が特異であるためには、先頭行ベクトルがバランスしていることが必要である。
(g)フーリエ行列の実部と虚部の成分
\( n \times n \) フーリエ行列を
F_n = n^{-1/2}\,[\omega^{(i-1)(j-1)}]_{i,j=1}^n
とする。ただし \( \omega = e^{2\pi i/n} \) は \( n \) 次の 1 の原始根である。
いま \( F_n = C_n + i S_n \) と表され、\( C_n, S_n \) はともに実行列であるとする。
1. 各成分の計算
指数関数の表示 \( \omega^{(i-1)(j-1)} = e^{2\pi i (i-1)(j-1)/n} \) にオイラーの公式を用いると、
\omega^{(i-1)(j-1)}
=
\cos\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
+
i \sin\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
となる。したがって、フーリエ行列の各成分は
(F_n)_{ij}
=
\frac{1}{\sqrt{n}}
\cos\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
+
i\,\frac{1}{\sqrt{n}}
\sin\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
2. 行列 \( C_n \), \( S_n \) の成分
以上より、実部と虚部をそれぞれ取り出すことで、
(C_n)_{ij}
=
\frac{1}{\sqrt{n}}
\cos\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
および
(S_n)_{ij}
=
\frac{1}{\sqrt{n}}
\sin\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
を得る。これらはいずれも実数からなる行列である。
3.結論
\( F_n = C_n + i S_n \) と分解したとき、 \( C_n \) は余弦成分からなる実行列、 \( S_n \) は正弦成分からなる実行列であり、 それぞれの成分は
\( (C_n)_{ij} = n^{-1/2}\cos\!\bigl(2\pi (i-1)(j-1)/n\bigr) \),
\( (S_n)_{ij} = n^{-1/2}\sin\!\bigl(2\pi (i-1)(j-1)/n\bigr) \)
で与えられる。
(h)フーリエ行列の実部・虚部の性質とハートレー行列
\( n \times n \) フーリエ行列 \( F_n = C_n + i S_n \) において、\( C_n, S_n \) は前問で求めたように実行列であり、
(C_n)_{ij}
=
\frac{1}{\sqrt{n}}
\cos\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right), \quad
(S_n)_{ij}
=
\frac{1}{\sqrt{n}}
\sin\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
で定義されているとする。以下では、これらの行列が満たす関係式を示す。
1. \( C_n^2 + S_n^2 = I \) の証明
フーリエ行列 \( F_n \) はユニタリであるため、
F_n F_n^* = I
が成り立つ。ここで \( F_n = C_n + i S_n \), \( F_n^* = C_n - i S_n \) を代入すると、
(C_n + i S_n)(C_n - i S_n) = C_n^2 + S_n^2 + i(S_n C_n - C_n S_n)
となる。左辺は単位行列 \( I \) に等しく、右辺は実部と虚部に分解されている。 単位行列は実行列であるため、虚部は 0 でなければならない。
したがって、実部から
C_n^2 + S_n^2 = I
2. \( C_n S_n = S_n C_n = 0 \) の証明
同様に、虚部が 0 であることから、
S_n C_n - C_n S_n = 0
すなわち \( C_n S_n = S_n C_n \) が成り立つ。
さらに、成分表示を用いると、余弦と正弦の直交性より 各成分の内積が 0 となるため、
C_n S_n = S_n C_n = 0
3. ハートレー行列 \( H_n \) の性質
ここで
H_n = C_n + S_n
と定義する。成分表示から明らかに
(H_n)_{ij}
=
\frac{1}{\sqrt{n}}
\left(
\cos\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
+
\sin\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
\right)
であり、右辺は \( i \) と \( j \) を入れ替えても変わらないため、 \( H_n \) は対称行列である。
また、
H_n^2 = (C_n + S_n)^2 = C_n^2 + S_n^2 + C_n S_n + S_n C_n
に、すでに示した関係 \( C_n^2 + S_n^2 = I \), \( C_n S_n = S_n C_n = 0 \) を用いると、
H_n^2 = I
が得られる。よって \( H_n^T H_n = I \) が成り立ち、\( H_n \) は実直交行列である。
4.結論
以上より、
\( C_n^2 + S_n^2 = I \),
\( C_n S_n = S_n C_n = 0 \)
が成り立ち、さらに \( H_n = C_n + S_n \) は対称かつ実直交行列であることが示された。
(i)反転行列とハートレー行列の中心対称性
\( K_n \) を式 (0.9.5.1) で定義される反転行列（reversal matrix）とする。 すなわち、
K_n =
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 1 & 0 \\
\vdots & \cdot & \vdots & \vdots \\
1 & \dots & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{ij}
\end{bmatrix}
\in \mathbb{M}_n
(K_n)_{ij} =
\begin{cases}
1 & (j = n-i+1), \\
0 & (\text{それ以外})
\end{cases}
である。この行列は標準基底の順序を反転させる作用をもつ。 以下では、\( C_n, S_n, H_n \) と \( K_n \) の関係を示す。
1. \( C_n \) と \( K_n \) の関係
\( C_n \) の成分は
(C_n)_{ij}
=
\frac{1}{\sqrt{n}}
\cos\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
で与えられる。反転行列との積 \( C_n K_n \) の成分を計算すると、 列番号が \( j \mapsto n-j+1 \) に置き換えられることに対応し、
\cos\!\left(
\frac{2\pi (i-1)(n-j)}{n}
\right)
=
\cos\!\left(
2\pi(i-1) - \frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}
\right)
となる。余弦関数は \( 2\pi \) 周期かつ偶関数であるため、 元の成分と一致する。
したがって、
C_n K_n = K_n C_n = C_n
2. \( S_n \) と \( K_n \) の関係
同様に、\( S_n \) の成分は
(S_n)_{ij}
=
\frac{1}{\sqrt{n}}
\sin\!\left(\frac{2\pi (i-1)(j-1)}{n}\right)
で与えられる。反転によって現れる角度変換に対し、 正弦関数は奇関数であるため符号が反転する。
したがって、
S_n K_n = K_n S_n = - S_n
3. \( H_n \) と \( K_n \) の関係
ハートレー行列を \( H_n = C_n + S_n \) と定義する。 これまでの結果を用いると、
H_n K_n = (C_n + S_n) K_n = C_n - S_n
一方、
K_n H_n = K_n (C_n + S_n) = C_n - S_n
となるため、
H_n K_n = K_n H_n
以上より、\( C_n, S_n, H_n \) はいずれも反転行列と可換であり、 中心対称（centrosymmetric）行列である。
4. 実巡回行列の対角化
任意の行列 \( A = E + K_n F \) を考える。ただし、 \( E, F \) は実巡回行列で、 \( E = E^\mathrm{T} \), \( F = -F^\mathrm{T} \) を満たすとする。
このとき、\( H_n \) は実直交行列であり、かつ \( K_n \) と可換であるため、
H_n A H_n = H_n E H_n + H_n K_n F H_n
となる。\( E \) は実対称巡回行列、\( K_n F \) は同様に対称成分をもつため、 右辺は対角行列 \( \Lambda \) となる。
したがって、
H_n A H_n = \Lambda
が成り立ち、\( A \) の固有値はベクトル \( n^{1/2} H_n A e_1 \) の成分に等しい。
5.結論
以上より、ハートレー行列 \( H_n \) は すべての実対称巡回行列に対して、 明示的な実直交対角化を与えることが示された。
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