[行列解析2.2.8]定理

2.2.8定理

\(A, B \in M_n\) とする。

(a) 2つの行列 \(A, B\) がユニタリ相似であるのは、長さが高々

n \; \sqrt{\frac{2n^{2}}{\,n-1\,} + \frac{1}{4}} + \frac{n}{2} - 2

である2つの非可換変数に関するすべての単語 \(W(s,t)\) に対して

(2.2.7)

\mathrm{tr}\, W(A, A^{*}) = \mathrm{tr}\, W(B, B^{*})

が成り立つ場合、かつその場合に限る。

(b) \(n = 2\) の場合、\(A\) と \(B\) がユニタリ相似であるのは、次の3つの単語について (2.2.7) が成り立つ場合、かつその場合に限る：

\(W(s,t) = s,\; s^{2},\; st\).

\(W(s,t) = s,\; s^{2},\; st,\; s^{3},\; s^{2}t,\; s^{2}t^{2},\; s^{2}t^{2}st\).

(d) \(n = 4\) の場合、\(A\) と \(B\) がユニタリ相似であるのは、次の表に示す20個の単語について (2.2.7) が成り立つ場合、かつその場合に限る：

\(s\)
\(s^{2},\; st\)
\(s^{3},\; s^{2}t\)
\(s^{4},\; s^{3}t,\; s^{2}t^{2},\; stst\)
\(s^{3}t^{2} \)
\(s^{2}ts^{2}t,\; s^{2}t^{2}st,\; t^{2}s^{2}ts\)
\(s^{3}t^{2}st\)
\( s^{3}t^{2}s^{2}t,\; s^{3}t^{3}st,\; t^{3}s^{3}ts\)
\(s^{3}ts^{2}tst,\; s^{2}t^{2}sts^{2}t\)
\(s^{3}t^{3}s^{2}t^{2}\)

2つの実行列がユニタリ相似であるのは、それらが実直交相似である場合、かつその場合に限る（(2.5.21) を参照）。

したがって、(2.2.8) の判定条件は、実行列 \(A, B\) が実直交相似であるための必要十分条件を与える。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)