2.2.4（上ヘッセンベルグ行列へのユニタリ相似）
例 2.2.4. 上ヘッセンベルグ行列へのユニタリ相似。
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) を与える。次の構成により、\(A\) は第一サブ対角成分が非負の上ヘッセンベルグ行列にユニタリ相似であることがわかる。
\(a_1\) を \(A\) の第1列とし、これを \(a_1^T = [a_{11} \; \xi^T]\) と分割する。
ただし \(\xi \in \mathbb{C}^{n-1}\) である。もし \(\xi = 0\) ならば \(U_1 = I_{n-1}\) とする。
そうでなければ、(2.1.13) を用いて \(U_1 = U(\|\xi\|_2 e_1, \xi) \in M_{n-1}\) を構成する。
このユニタリ行列は \(\xi\) を \(e_1\) の正の倍数に写す。
次にユニタリ行列 \(V_1 = I_1 \oplus U_1\) を作ると、\(V_1 A\) の第1列はベクトル \([a_{11}, \|\xi\|_2, 0, \dots, 0]^T\) となる。
さらに \(A_1 = (V_1A)V_1^{*}\) は \(V_1A\) と同じ第1列を持ち、\(A\) とユニタリ相似である。
これを
A_1 =
\begin{bmatrix}
a_{11} & * \\
\|\xi\|_2 & * \\
0 & A_2
\end{bmatrix}, \quad A_2 \in M_{n-1}
のように分割できる。
次に再び (2.1.13) を用いて、\(A_2\) の第1列を第2成分が非負でそれ以降がすべてゼロであるベクトルに写すユニタリ行列 \(U_2\) を構成する。
\(V_2 = I_2 \oplus U_2\) とおき、\(A_2 = V_2 A V_2^{*}\) とすれば、この相似変換は \(A_1\) の第1列を変化させない。
この操作を最大で \(n-1\) 回繰り返せば、\(A\) にユニタリ相似でサブ対角成分が非負の上ヘッセンベルグ行列 \(A_{n-1}\) が得られる。
演習.
もし \(A\) がエルミートまたは反エルミートならば、この構成によりユニタリ相似な三重対角のエルミートまたは反エルミート行列が得られることを説明せよ。
定理 2.2.2 は、与えられた2つの行列がユニタリ相似であるための必要条件を与えるが、十分条件ではない。
しかし追加の恒等式を組み合わせることで、必要十分条件を与えることができる。
ここで重要な役割を果たすのが次の単純な概念である。
\(s, t\) を可換でない2つの変数とする。非負整数 \(m_1, n_1, \dots, m_k, n_k\) に対して
W(s,t) = s^{m_1} t^{n_1} s^{m_2} t^{n_2} \cdots s^{m_k} t^{n_k}, \\
m_1, n_1, \dots, m_k, n_k \ge 0
の形を \(s,t\) の単語（word）と呼ぶ。
この長さは \(m_1+n_1+m_2+n_2+\cdots+m_k+n_k\) である。
\(A \in M_n\) に対して、次を定める：
W(A, A^{*}) \\
= A^{m_1} (A^{*})^{n_1} A^{m_2} (A^{*})^{n_2} \cdots A^{m_k} (A^{*})^{n_k}
ここで \(A\) と \(A^{*}\) のべき乗は可換とは限らないので、積の順序を変えて簡略化できるとは限らない。
さて、\(A\) が \(B \in M_n\) にユニタリ相似であるとする。
すなわち、あるユニタリ \(U \in M_n\) が存在して \(A = UBU^{*}\) が成り立つ。
このとき任意の単語 \(W(s,t)\) に対して
\begin{align}
&W(A, A^{*}) \notag \\
&= (UBU^{*})^{m_1}(UB^{*}U^{*})^{n_1} \notag \\
& \quad \quad \cdots (UBU^{*})^{m_k}(UB^{*}U^{*})^{n_k} \notag \\
&= U B^{m_1}(B^{*})^{n_1} \cdots B^{m_k}(B^{*})^{n_k} U^{*} \notag \\
&= U W(B, B^{*}) U^{*} \notag
\end{align}が成り立つ。
したがって \(W(A,A^{*})\) は \(W(B,B^{*})\) にユニタリ相似である。
特に \(\mathrm{tr}(W(A,A^{*})) = \mathrm{tr}(W(B,B^{*}))\) である。
例えば \(W(s,t)=ts\) を取れば、(2.2.2) の恒等式を得る。
すべての単語 \(W(s,t)\) を考えると、2つの行列がユニタリ相似であるための無限に多くの必要条件が得られる。
W. Specht の定理（証明は省略する）によれば、これらの必要条件は実は十分条件でもある。
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