2.2.3例（対角成分がすべて等しい行列へのユニタリ相似）
計算上あるいは理論上の理由から、与えられた行列をユニタリ相似変換によって特別な形の行列に変換することが便利な場合がよくある。
例 2.2.3. 対角成分がすべて等しい行列へのユニタリ相似。
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) を与える。我々は、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して、\(U^{*}AU = B = [b_{ij}]\) のすべての主対角成分が等しくなることを主張する。
もし \(A\) が実行列ならば、\(U\) は実直交行列として選べる。
この主張が正しければ、\(\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B) = n b_{11}\) となり、したがって \(B\) の各主対角成分は \(A\) の主対角成分の平均に等しい。
まず複素数の場合で \(n=2\) を考える。
\(A \in M_2\) を \(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}(A)I\) を引いたものに置き換えることができるので、一般性を失わず \(\mathrm{tr}(A) = 0\) と仮定できる。
このとき、\(A\) の固有値はある \(\lambda \in \mathbb{C}\) に対して \(\pm \lambda\) である。ここで、\(u^{*}Au = 0\) を満たす単位ベクトル \(u\) を求めたい。
もし \(\lambda = 0\) なら、\(Au=0\) を満たす任意の単位ベクトル \(u\) を選べばよい。
もし \(\lambda \neq 0\) なら、異なる固有値 \(\pm \lambda\) に対応する単位固有ベクトル \(w, z\) を取る。
\(x(\theta) = e^{i\theta}w + z\) とおくと、\(w, z\) は一次独立なので \(x(\theta) \neq 0\) である。
計算すると
\begin{align}
&x(\theta)^{*}\,A \,x(\theta) \notag \\
&= \lambda \,(e^{i\theta}w + z)^{*}\,(e^{i\theta}w - z) \notag \\
&= 2i\,\lambda \, \mathrm{Im}(e^{i\theta} z^{*}w) \notag
\end{align}
計算の補足
\begin{align}
& (e^{i\theta}w + z)^{*}(e^{i\theta}w - z) \notag \\
&= (e^{-i\theta}w^{*} + z^{*})(e^{i\theta}w - z) \notag \\
&= e^{-i\theta}w^{*}e^{i\theta}w + z^{*}e^{i\theta}w - e^{-i\theta}w^{*}z - z^{*}z \notag \\
&= 1 + z^{*}e^{i\theta}w - e^{-i\theta}w^{*}z - 1 \notag \\
&= e^{i\theta}z^{*}w - e^{-i\theta}zw^{*} \notag \\
&=2i \, \mathrm{Im}(e^{i\theta} z^{*}w) \notag
\end{align}もし \(z^{*}w = e^{i\phi}|z^{*}w|\) ならば、\(x(-\phi)^{*}Ax(-\phi) = 0\) となる。
\begin{align}
x(-\phi)^{*}Ax(-\phi)
&= 2i\,\lambda \, \mathrm{Im}(e^{-i\phi} z^{*}w) \notag \\
&=2i \,\lambda \, \mathrm{Im}(e^{-i\phi} e^{i\phi}|z^{*}w|) \notag \\
&=2i \,\lambda \, \mathrm{Im}(|z^{*}w|) \notag \\
&=0 \notag
\end{align}したがって \(u = x(-\phi)/\|x(-\phi)\|_2\) を取ればよい。
次に、\(u\) に直交する任意の単位ベクトル \(v \in \mathbb{C}^2\) を選び、\(U = [u \; v]\) とおくと、\(U\) はユニタリであり、\((U^{*}AU)_{11} = u^{*}Au = 0\) である。
また \(\mathrm{tr}(U^{*}AU) = 0\) なので \((U^{*}AU)_{22} = 0\) も成り立つ。
次に \(n=2\) かつ \(A\) が実行列の場合を考える。
もし \(A = [a_{ij}]\) の対角成分が等しくなければ、平面回転行列
U_{\theta} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
を考える。
計算すると、\(U_{\theta}^{T}AU_{\theta}\) の対角成分が等しくなるのは、
(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(a_{11} - a_{22}) \\
= 2\sin \theta \cos \theta (a_{12} + a_{21})
が成り立つときである。
したがって、\(\theta \in (0, \pi/2)\) を選んで
\cot 2\theta = \frac{a_{12} + a_{21}}{a_{11} - a_{22}}
とすれば、対角成分は等しくなる。
よって任意の \(2 \times 2\) 複素行列 \(A\) は、対角成分が \(A\) の対角成分の平均に等しい行列にユニタリ相似であることがわかる。
もし \(A\) が実行列ならば、その相似は実直交行列で実現できる。
次に \(n > 2\) の場合を考える。ここで
f(A) = \max \{ |a_{ii} - a_{jj}| : i,j = 1,2,\dots,n \}
と定義する。
もし \(f(A) \gt 0\) なら、\(f(A) = |a_{ii} - a_{jj}|\) となる添字の組 \((i,j)\) を選び、部分行列
A_2 = \begin{bmatrix}
a_{ii} & a_{ij} \\
a_{ji} & a_{jj}
\end{bmatrix}
を考える。
ユニタリ行列 \(U_2 \in M_2\)（もし \(A\) が実なら実直交）を選んで、\(U_2^{*}A_2U_2\) の対角成分が両方とも \(\tfrac{1}{2}(a_{ii} + a_{jj})\) になるようにする。
(2.1.11) の方法と同様に、\(U_2\) から \(U(i,j) \in M_n\) を構成する。
ユニタリ相似 \(U(i,j)^{*}AU(i,j)\) は行と列の \(i, j\) に対応する成分だけを変え、その他の対角成分は変えない。
そして \(i, j\) の成分は平均値 \(\tfrac{1}{2}(a_{ii} + a_{jj})\) に置き換えられる。
さらに任意の \(k \neq i,j\) について三角不等式を用いれば
\big| a_{kk} - \tfrac{1}{2}(a_{ii} + a_{jj}) \big| \\
\le \tfrac{1}{2}|a_{kk} - a_{ii}| + \tfrac{1}{2}|a_{kk} - a_{jj}| \\
\le f(A)
となる。
等号が成り立つのは特殊な場合（\(a_{ii} = a_{jj}\)）に限られるので、通常はより小さな値が得られる。
したがって、この操作により \(f(A)\) の最大値を達成する添字の組が一つ減る。
この操作を必要に応じて繰り返すことで、ついに \(f(U^{*}AU) \lt f(A)\) を満たすユニタリ \(U\)（もし \(A\) が実なら実直交）が得られる。
最後に、コンパクト集合
R(A) = \{ U^{*}AU : U \in M_n \text{ はユニタリ} \}
を考える。
\(f\) は \(R(A)\) 上の連続な非負値関数なので、その最小値を達成する。
すなわち、ある \(B \in R(A)\) が存在して、任意の \(A \in R(A)\) に対して \(f(A) \ge f(B) \ge 0\) が成り立つ。
もし \(f(B) > 0\) ならば、上記の議論から、さらに小さな値 \(f(U^{*}BU)\) を達成するユニタリ \(U\) が存在する。
この矛盾により \(f(B) = 0\) が結論される。したがって \(B\) のすべての対角成分は等しい。
コメント