2.1.ｐ24
2.1.問題24
行列 \( E = [e_{ij}] \in M_3 \) を考える。ここで各成分 は\( e_{ij} = +1 \) である。
(a) 行列 \( E \) のパーマネント（permanent）を計算し、\(\mathrm{per}\, E = 6\) であることを示せ。
(b) 行列 \( B = [b_{ij}] \in M_3 \) を考える。各成分は \( b_{ij} = \pm 1 \) である。アダマールの不等式を用いて、符号の選び方に関わらず、\(\mathrm{per}\, E = \det B\) となることはないことを示せ。
ヒント
(a) パーマネントは行列式と似ているが、交代符号を付けない点が異なる。3次の全ての成分が \(1\) の行列の場合、各項はすべて \(1\) になるので、順列の総数を数えればよい。
(b) 行列 \(B\) の各成分が \( \pm 1 \) のとき、各列ベクトルのユークリッドノルムは \( \sqrt{3} \) である。Hadamard の不等式 \( |\det B|\le \prod \|列ベクトル\|_2 \) を使うと、行列式の絶対値の上限が計算できる。これが \(6\) より小さいことを示すことで、等しくなり得ないことがわかる。
解答例
(a) 行列 \(E=[e_{ij}]\in M_3\) で各成分が \( e_{ij}=1 \) であるとする。3次行列のパーマネントは
\mathrm{per}\,E=\sum_{\sigma\in S_3}\prod_{i=1}^{3} e_{i\sigma(i)}
で定義される。ここで \(S_3\) は3元対称群である。すべての成分が \(1\) なので各積はすべて \(1\) であり、項の数は順列の個数 \(3!\) である。
\mathrm{per}\,E=3!=6
したがって、\(\mathrm{per}\,E=6\) であることが示された。
(b) 行列 \(B=[b_{ij}]\in M_3\) で各成分 \(b_{ij}=\pm 1\) とする。このとき各列ベクトルを \(b_1,b_2,b_3\) と書くと、それぞれのユークリッドノルムは
\|b_i\|_2=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}
である。Hadamard の不等式より
|\det B|\le \prod_{i=1}^{3}\|b_i\|_2
が成り立つので、右辺を評価すると
|\det B|\le (\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}
となる。ここで \(3\sqrt{3}\lt 6\) であるから
|\det B|<6
が成立する。よって、符号の選び方に関係なく \(\det B = 6\) とはなり得ない。
以上より、\(\mathrm{per}\,E=6\) である一方で、任意の \( \pm 1 \) 成分をもつ行列 \(B\) に対して \(\det B\) が \(6\) になることはないことが示された。
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