[行列解析2.1.p23]

2.1.問題23
- 2.1.問題23

2.1.問題23

\( A \in M_n \) を QR 分解し、\( A = QR \)、かつ列に分割して \( A = [a_1 \dots a_n] \)、\( Q = [q_1 \dots q_n] \)、\( R = [r_1 \dots r_n] \)、さらに \( R = [r_{ij}] \) とする。

以下を説明せよ：

\( |\det A| = \det R = r_{11} \cdots r_{nn} \)
\( \|a_i\|_2 = \|r_i\|_2 \ge r_{ii} \)、かつ等号が成立するのは \( a_i = r_{ii} q_i \) のときに限る。

このことから、Hadamardの不等式：

|\det A| \le \prod_{i=1}^{n} \|a_i\|_2

が導かれる。ただし、等号成立条件は次のいずれか：

\( a_i = 0 \)となる\(a_i\)がある。
\( A \) の列が互いに直交している（すなわち \( A^* A = \mathrm{diag}(\|a_1\|^2, \dots, \|a_n\|^2) \)）

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)