2.1.問題19
2.1.問題19
\( X = [x_1 \dots x_m] \in M_{n,m} \)、\(\mathrm{rank}(X) = m\)、かつ QR分解 \( X = QR \) をもつとする。
\( Y = QR^{-∗} = [y_1 \dots y_m] \) と定義する：
- \( Y \) の列ベクトルは \( S = \mathrm{span}\{x_1, \dots, x_m\} \) の基底であり、\( Y^* X = I_m \) なので、\( y_i^* x_j = \delta_{ij} \)、\( y_i^* x_i = 1 \)。
このとき、\( y_1, \dots, y_m \) は \( x_1, \dots, x_m \) の双対基底（reciprocal basis）である。 - 双対基底は一意であることを示せ。すなわち、\( Z \in M_{n,m} \) の列が \( S \) に属し、かつ \( Z^* X = I \) ならば、\( Z = Y \)。
- \( y_1, \dots, y_m \) の双対基底は \( x_1, \dots, x_m \) であることを示せ。
- \( n = m \) のとき、\( X^{-*} \) の列は \( \mathbb{C}^n \) の基底であり、それは \( x_1, \dots, x_n \) の双対基底であることを示せ。
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