2.1.p12
2.1.問題12
\( A \in M_n \) があるユニタリ行列と相似であるならば、\( A^{-1} \) は \( A^* \) と相似であることを示せ。
ヒント
\( A \) がユニタリ行列 \( U \) と相似であると仮定すると、ある可逆行列 \( P \) が存在して \( A = PUP^{-1} \) と書ける。ユニタリ行列の基本性質 \( U^{-1}=U^* \) を用いると、\( A^{-1} \) と \( A^* \) をともに \( U^* \) と結びつけることができる。さらに「同じ行列に相似である2つの行列は互いに相似である」という事実を用いれば、\( A^{-1} \) と \( A^* \) が相似であることが従う。
解答例
まず、仮定より \( A \) はあるユニタリ行列 \( U \) と相似であるから、可逆行列 \( P \) が存在して
A = PUP^{-1}
と表せる。 ユニタリ行列の定義より \( U^{-1} = U^* \) である。そこで \( A^{-1} \) を計算すると、
A^{-1} = (PUP^{-1})^{-1} = P U^{-1} P^{-1} = P U^{*} P^{-1}
となる。したがって \( A^{-1} \) は \( U^* \) と相似である。 次に、\( A^* \) を計算すると、
A^{*} = (PUP^{-1})^{*} = (P^{-1})^{*} U^{*} P^{*} = (P^{*})^{-1} U^{*} P^{*}
となるので、\( A^{*} \) もまた \( U^{*} \) と相似である。 ここで、一般に \( B = Q C Q^{-1} \)、\( D = R C R^{-1} \) を満たすとき、両者は同じ行列 \( C \) に相似であるから、次のようにして互いに相似である：
B = (Q R^{-1}) D (Q R^{-1})^{-1}
したがって「同じ行列に相似な2つの行列は互いに相似である」といえる。
以上より、\( A^{-1} \) と \( A^{*} \) はともに \( U^{*} \) に相似であるため、結論として
A^{-1} \sim A^{*}
となる。これで示すべきことが証明された。
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