2.1.p11
2.1.問題11
正則行列 \( A \in M_n \) が斜直交行列（skew orthogonal）であるとは、
\( A^{-1} = -A^{\top} \) が成り立つときである。以下を示せ：
- \( A \) が斜直交 ⇔ \( \pm iA \) が直交行列。
- より一般に、\( \theta \in \mathbb{R} \) に対して、\( A^{-1} = e^{i\theta} A^{\top} \) ⇔ \( e^{i\theta/2}A \) が直交行列。
- このとき、\( \theta = 0 \)、および \( \theta = \pi \) の場合に何が起こるか。
ヒント
直交行列： \( A^{-1} = A^{\top} \) を満たす実行列
与えられた条件をこの形に帰着させるために、定数倍した行列の逆行列と転置を計算することが基本方針である。 行列 \( \pm iA \) を考える。
解答例
まず、正則行列 \( A \in M_n \) が斜直交であるとは \( A^{-1} = -A^{\top} \) が成り立つことである。このとき行列 \( \pm iA \) を考える。
\( iA \) の逆行列は \( (iA)^{-1} = -iA^{-1} \) であり、仮定より \( (iA)^{-1} = -i(-A^{\top}) = iA^{\top} \) となる。一方、転置は \( (iA)^{\top} = iA^{\top} \) である。したがって
(iA)^{-1} = (iA)^{\top}
が成り立ち、\( iA \) は直交行列である。同様に \( -iA \) についても直交行列である。逆に \( \pm iA \) が直交行列であると仮定すれば、同じ計算を逆にたどることで \( A^{-1} = -A^{\top} \) が従う。よって \( A \) が斜直交であることと \( \pm iA \) が直交行列であることは同値である。
次に、より一般に \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して \( A^{-1} = e^{i\theta}A^{\top} \) が成り立つと仮定する。行列 \( B = e^{i\theta/2}A \) を考えると、
B^{-1} = e^{-i\theta/2}A^{-1} = e^{-i\theta/2}e^{i\theta}A^{\top} = e^{i\theta/2}A^{\top} = B^{\top}
が成り立つ。したがって \( B \) は直交行列である。逆に \( e^{i\theta/2}A \) が直交行列であると仮定すれば、同様の計算により \( A^{-1} = e^{i\theta}A^{\top} \) が得られる。よって両条件は同値である。
最後に特別な場合を考える。\( \theta = 0 \) のとき条件は \( A^{-1} = A^{\top} \) となり、これは \( A \) が直交行列であることを意味する。\( \theta = \pi \) のときは \( A^{-1} = -A^{\top} \) となり、これは \( A \) が斜直交行列であることを意味する。
補足
（１） \( A \) が斜直交 ⇔ \( \pm iA \) が直交行列。
\( A^{-1} = -A^{\top} \)とする。
(iA)^{\top} (i A) = i^2(A^{\top}A)=(-A^{\top})A=A^{-1}A=I \\
(iA) (i A)^{\top} = i^2(AA^{\top})=A(-A^{\top})=AA^{-1}=I \\
(-iA)^{\top} (-iA) = (-i)^2(A^{\top}A)=(-A^{\top})A=A^{-1}A=I \\
(-iA) (-iA)^{\top} = (-i)^2(AA^{\top})=A(-A^{\top})=AA^{-1}=I \\逆に、\((\pm iA)^{\top}(\pm iA)=(\pm iA)(\pm iA)^{\top}=I \)とする。
(\pm iA)^{\top}(\pm iA)=(\pm iA)(\pm iA)^{\top}=I \\
(\pm A)^{\top}(\pm A)=(\pm A)(\pm A)^{\top}=-I \\
(-(\pm A))^{\top}(\pm A)=(-(\pm A))(\pm A)^{\top}=I \\
∴
(\pm A)^{-1} = -(\pm A)^{\top}（２） \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して、\( A^{-1} = e^{i\theta} A^{\top} \) ⇔ \( e^{i\theta/2}A \) が直交行列。
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