2.1.p11
2.1.問題11
正則行列 \( A \in M_n \) が斜直交行列（skew orthogonal）であるとは、
\( A^{-1} = -A^T \) が成り立つときである。以下を示せ：
- \( A \) が斜直交 ⇔ \( \pm iA \) が直交行列。
- より一般に、\( \theta \in \mathbb{R} \) に対して、\( A^{-1} = e^{i\theta} A^T \) ⇔ \( e^{i\theta/2}A \) が直交行列。
- このとき、\( \theta = 0 \)、および \( \theta = \pi \) の場合に何が起こるか。
ヒント
直交行列： \(A^{\top}A=AA^{\top}=I\)を満たす実行列
解答例
（１） \( A \) が斜直交 ⇔ \( \pm iA \) が直交行列。
\( A^{-1} = -A^T \)とする。
(iA)^{\top} (i A) = i^2(A^TA)=(-A^{\top})A=A^{-1}A=I \\
(iA) (i A)^{\top} = i^2(AA^{\top})=A(-A^{\top})=AA^{-1}=I \\
(-iA)^{\top} (-iA) = (-i)^2(A^TA)=(-A^{\top})A=A^{-1}A=I \\
(-iA) (-iA)^{\top} = (-i)^2(AA^{\top})=A(-A^{\top})=AA^{-1}=I \\逆に、\((\pm iA)^{\top}(\pm iA)=(\pm iA)(\pm iA)^{\top}=I \)とする。
(\pm iA)^{\top}(\pm iA)=(\pm iA)(\pm iA)^{\top}=I \\
(\pm A)^{\top}(\pm A)=(\pm A)(\pm A)^{\top}=-I \\
(-(\pm A))^{\top}(\pm A)=(-(\pm A))(\pm A)^{\top}=I \\
∴
(\pm A)^{-1} = -(\pm A)^T（２） \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して、\( A^{-1} = e^{i\theta} A^T \) ⇔ \( e^{i\theta/2}A \) が直交行列。
（３）\( \theta = 0 \)、および \( \theta = \pi \) の場合に何が起こるか。
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