[行列解析2.1.p7]

2.1.問題7

\( A, B \in M_n \)、かつ \( AB = I \) と仮定する。このとき \( BA = I \) を導く議論を詳細に示せ：

任意の \( y \in \mathbb{C}^n \) は \( y = A(By) \) と書けるので、\(\mathrm{rank} A = n\)、したがって \(\dim(\mathrm{null}(A)) = 0 \)（0.2.3.1より）。

次に次のように計算する：

A(AB - BA) = A(I - BA) \\= A - (AB)A = A - A = 0

よって、\( AB - BA = 0 \)。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)