2.1.P4
2.1.問題4
実対角直交行列の特徴づけを与えよ。
ヒント
ユニタリ行列は次のような形であわわされる(2.1.p3)。
\mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i\theta_n})
解答例
実対角直交行列\(D\)を\(\mathrm{diag} (d_1, d_2, \ldots, d_n)\)とすると、
\(D^TD=I\)より、各\(i\)に対して、\(d_i^2=1\)
したがって、実対角直交行列の対角成分は、\(1\)または\(-1\)である。
したがって、すべての実対角直交行列は
\(D=\mathrm{diag}(\pm 1, \pm 1, \dots, \pm 1)\)の形に限られる。
逆に、対角成分が\(1\)または\(-1\)からなる対角行列は、実対角直交行列である。
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