[行列解析2.1.p3]

2.1.P3

2.1.問題3

実パラメータ \(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n\) が与えられたとき、

U = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i\theta_n})

がユニタリであることを示せ。

また、すべての対角ユニタリ行列はこの形を持つことを示せ。

実パラメータ \(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n\) が与えられたとき、行列

U=\mathrm{diag}\bigl(e^{i\theta_1},e^{i\theta_2},\dots,e^{i\theta_n}\bigr)

を考える。随伴行列は各対角成分の共役を取るため

U^*=\mathrm{diag}\bigl(e^{-i\theta_1},e^{-i\theta_2},\dots,e^{-i\theta_n}\bigr).

よって積は各対角成分の積になり、

U^*U=\mathrm{diag}\bigl(e^{-i\theta_1}e^{i\theta_1},\dots,e^{-i\theta_n}e^{i\theta_n}\bigr)=\mathrm{diag}(1,\dots,1)=I.

したがってこの \(U\) はユニタリである。

対角行列を \(D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)\) とする。

ユニタリ性 \(D^*D=I\) を対角成分で見ると
各 \(j\) について \(|d_j|^2=1\) が得られる。

従って各 \(d_j\) は複素単位円上の元であり、ある実数 \(\theta_j\) を用いて

d_j = e^{i\theta_j}\quad(\theta_j\in\mathbb{R})

と表せる。

よって任意の対角ユニタリ行列は \( \mathrm{diag}(e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_n}) \) の形を持つ。