2.1.13
定理 2.1.13.
\( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与えられたとし、\(\|x\|_2 = \|y\|_2 > 0\) と仮定する。
もし \( y = e^{i\theta} x \) （ある実数 \(\theta\) が存在する）ならば、
U(y, x) = e^{i\theta} I_n
と定義する。
それ以外の場合には、\(\varphi \in [0, 2\pi)\) を \( x^* y = e^{i\varphi} |x^* y| \) を満たすようにとる（もし \( x^* y = 0 \) ならば \(\varphi = 0\) とする）。
次に
w = e^{i\varphi} x - y
とし、ハウスホルダー行列
U_w = I - 2 (w^* w)^{-1} w w^*
を用いて
U(y, x) = e^{i\varphi} U_w
と定義する。
このとき \( U(y, x) \) はユニタリかつ「本質的にエルミート」であり、\( U(y, x)x = y \) を満たし、さらに \( z \perp x \) ならば \( U(y, x)z \perp y \) が成り立つ。
もし \( x, y \) が実ベクトルであるなら、\( U(y, x) \) は実直交行列であり、\( y = x \) のとき \( U(y, x) = I \)、そうでなければ \( U(y, x) \) は実ハウスホルダー行列 \( U_{x-y} \) である。
証明.
もし \( x, y \) が線形従属、すなわち \( y = e^{i\theta} x \) であるなら主張は明らかである。
\( x, y \) が線形独立のとき、コーシー・シュワルツの不等式 (0.6.3) により \( x^* x \neq |x^* y| \) が保証される。次を計算する：
w^* w = (e^{i\varphi}x - y)^* (e^{i\varphi}x - y)
= x^*x - e^{-i\varphi} x^* y - e^{i\varphi} y^* x + y^* y
= 2(x^* x - \mathrm{Re}(e^{-i\varphi} x^* y))
= 2(x^* x - |x^* y|)
w^* x = e^{-i\varphi} x^* x - y^* x
= e^{-i\varphi} x^* x - e^{-i\varphi} |y^* x|
= e^{-i\varphi} (x^* x - |x^* y|)
e^{i\varphi} U_w x
= e^{i\varphi} \left( x - 2 (w^* w)^{-1} w w^* x \right)
= e^{i\varphi} (x - (e^{i\varphi} x - y) e^{-i\varphi})
= y
さらに \( z \perp x \) のとき、\( w^* z = -y^* z \) となり、次が成り立つ：
y^* U(y, x) z
= e^{i\varphi} \left( y^* z - \frac{1}{\|x\|_2^2 - |x^* y|} (e^{i\varphi} y^* x - \|y\|_2^2)(-y^* x) \right)
= e^{i\varphi} (y^* z - y^* z)
= 0
したがって、\( U_w \) がユニタリかつエルミートであることから、\( U(y, x) = (e^{i\varphi} I) U_w \) は2つのユニタリ行列の積としてユニタリであり、本質的にエルミートである（0.2.5参照）。 ■
練習問題.
\( y \in \mathbb{C}^n \) を与えられた単位ベクトル、\( e_1 \) を \( n \times n \) 単位行列の第1列とする。
上の定理の方法で \( U(y, e_1) \) を構成し、その第1列が \( y \) であることを確認せよ（確かに \( y = U(y, e_1)e_1 \) である）。
練習問題.
\( x \in \mathbb{C}^n \) を与えられたゼロでないベクトルとする。
なぜ \( U(\|x\|_2 e_1, x) \) が本質的にエルミートなユニタリ行列であり、\( x \) を \(\|x\|_2 e_1\) に写すのかを説明せよ。
以下で述べる複素または実行列の QR 分解は、理論的にも計算上も極めて重要である。
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