[行列解析2.1.11]例（平面回転行列・ギブンス回転行列）

2.1.11
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2.1.11

例 2.1.11. 平面回転.

\(1 \leq \lt j \leq n\) とする。

このとき、次の行列を定義する：

U(\theta; i, j) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & \cos\theta & \cdots & -\sin\theta & \\ & & \vdots & \ddots & \vdots & \\ & & \sin\theta & \cdots & \cos\theta & \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & 1 \end{bmatrix},

ここで、\( n \times n \) の単位行列の \( (i,i) \) および \( (j,j) \) 成分を \(\cos\theta\) に置き換え、\( (i,j) \) 成分を \(-\sin\theta\) に、\( (j,i) \) 成分を \(\sin\theta\) に置き換えたものである。

この行列 \( U(\theta; i, j) \) を平面回転行列またはギブンス回転行列と呼ぶ。

練習問題.

任意の \(1 \leq i \lt j \leq n\) と任意のパラメータ \(\theta \in [0, 2\pi)\) に対して、\( U(\theta; i, j) \in M_n(\mathbb{R}) \) が実直交行列であることを確認せよ。

練習問題.

\( U(\theta; i, j)^{-1} = U(-\theta; i, j) \) であることを確認せよ。

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