[行列解析1.4.P14]随伴行列と固有ベクトルの基本的性質

1.4.P14

1.4.問題14
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1.4.問題14

行列 \(A \in M_n\) と複素数 \(t \in \mathbb{C}\) が与えられたとする。

なぜ次が成り立つのか説明せよ：

(A - t I)\, \mathrm{adj}(A - t I) = \mathrm{adj}(A - t I)\, (A - t I) = p_A(t) I

ここで、\(\lambda\) が \(A\) の固有値であると仮定する。

次を示せ：

(a) \(\mathrm{adj}(A - \lambda I)\) の非ゼロ列はすべて、\(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルである。

(b) \(\mathrm{adj}(A - \lambda I)\) の非ゼロ行はすべて、\(\lambda\) に対応する \(A\) の左固有ベクトルの共役転置である。

(d) \(\lambda\) が次の \(2 \times 2\) 行列の固有値である場合：

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

次の行列の各非ゼロ列は \(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルであり、

\begin{pmatrix} d - \lambda & -b \\ -c & a - \lambda \end{pmatrix}

各非ゼロ行は \(\lambda\) に対応する \(A\) の左固有ベクトルの共役転置である。

ヒント

随伴行列の定義より \( X\,\mathrm{adj}(X)=\det(X)I \) が成り立つことを用いる。特に \( X=A-tI \) としたとき、特性多項式 \( p_A(t) \) との関係に注目する。さらに、固有値の場合には \( A-\lambda I \) が特異になることから、核と像の関係を考える。

解答例

任意の正方行列 \( X \) に対して、随伴行列の定義より \( X\,\mathrm{adj}(X)=\mathrm{adj}(X)\,X=\det(X)I \) が成り立つ。ここで \( X=A-tI \) とおくと、\( \det(A-tI)=p_A(t) \) であるから、

(A-tI)\,\mathrm{adj}(A-tI) =\mathrm{adj}(A-tI)\,(A-tI) =p_A(t)I

が成り立つ。

以下、\( \lambda \) を \( A \) の固有値とする。このとき \( p_A(\lambda)=0 \) である。

(a) 上式に \( t=\lambda \) を代入すると、 \( (A-\lambda I)\,\mathrm{adj}(A-\lambda I)=0 \) となる。したがって、\( \mathrm{adj}(A-\lambda I) \) の任意の列 \( v \) は \( (A-\lambda I)v=0 \) を満たす。よって、非ゼロ列はすべて \( \lambda \) に対応する \( A \) の固有ベクトルである。

(b) 同様に \( \mathrm{adj}(A-\lambda I)\,(A-\lambda I)=0 \) より、\( \mathrm{adj}(A-\lambda I) \) の任意の行 \( w^* \) は \( w^*(A-\lambda I)=0 \) を満たす。したがって、非ゼロ行はすべて \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルの共役転置である。

(c) \( \mathrm{adj}(A-\lambda I)\neq 0 \) であれば、(a) により少なくとも一つの非ゼロ固有ベクトルが得られ、その空間は一次元である。逆に、\( \lambda \) の幾何重複度が 1 であれば、核の次元は 1 であり、随伴行列は階数 1 の非零行列となる。したがって \( \mathrm{adj}(A-\lambda I)=0 \) であることと、\( \lambda \) の幾何重複度が 1 であることは同値である。

(d) \( A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) に対して、