1.4.問題14
1.4.P14
行列 \(A \in M_n\) と複素数 \(t \in \mathbb{C}\) が与えられたとする。
なぜ次が成り立つのか説明せよ：
(A - t I)\, \mathrm{adj}(A - t I) = \mathrm{adj}(A - t I)\, (A - t I) = p_A(t) I
ここで、\(\lambda\) が \(A\) の固有値であると仮定する。
次を示せ：
(a) \(\mathrm{adj}(A - \lambda I)\) の非ゼロ列はすべて、\(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルである。
(b) \(\mathrm{adj}(A - \lambda I)\) の非ゼロ行はすべて、\(\lambda\) に対応する \(A\) の左固有ベクトルの共役転置である。
(c) \(\mathrm{adj}(A - \lambda I) = 0\) であることと、\(\lambda\) の幾何重複度が 1 であることは同値である。
(d) \(\lambda\) が次の \(2 \times 2\) 行列の固有値である場合：
A =
\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}
次の行列の各非ゼロ列は \(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルであり、
\begin{pmatrix} d - \lambda & -c \\ -b & a - \lambda \end{pmatrix}
各非ゼロ行は \(\lambda\) に対応する \(A\) の左固有ベクトルの共役転置である。
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