[行列解析1.4.P13]随伴行列と左右固有ベクトルの関係

1.4.P13

1.4.問題13
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1.4.問題13

行列 \(A \in M_n\) とゼロでないベクトル \(x, y \in \mathbb{C}^n\) が与えられ、\(\lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) を \(A\) の固有値とする。

ここで、\(Ax = \lambda x\) および \(y^*A = \lambda y^*\) が成り立ち、\(\lambda\) の幾何重複度が 1 であると仮定する。

補題(1.4.11)

\( A \in M_n \)、\( \lambda \in \mathbb{C} \)、およびゼロでないベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与える。

\( \lambda \) が \( A \) の固有値であり、その幾何的重複度が 1 であり、さらに \( Ax = \lambda x \)、\( y^* A = \lambda y^* \) が成り立つと仮定する。

このとき、あるゼロでない \( \gamma \in \mathbb{C} \) が存在して、次が成り立つ：
\operatorname{adj}(\lambda I - A) = \gamma \, x y^*

このとき補題(1.4.11) により

\mathrm{adj}(\lambda I - A) = \gamma\, x y^*

かつ \(\gamma \neq 0\) である。

(a) なぜ次が成り立つのか説明せよ：

\gamma\, y^* x = \mathrm{tr}(\lambda I - A) \\ = E_{n-1}(\lambda I - A) \\ = S_{n-1}(\lambda I - A) \\ = (\lambda - \lambda_2)(\lambda - \lambda_3) \cdots (\lambda - \lambda_n)

(b) (a) から、\(\lambda\) が単純固有値であるとき、\(\ y^* x \neq 0 \) であることを導け。

(c) パラメータ \(\gamma\) は、\(\lambda\) の重複度に関わらず常に非ゼロである。もし \(\lambda\) が単純固有値であれば、なぜ次の式が成り立つのか説明せよ：

\gamma = \frac{(\lambda - \lambda_2)(\lambda - \lambda_3) \cdots (\lambda - \lambda_n)}{y^* x}

(d) なぜ次の条件が同値であるのか説明せよ：

\text{すべての } x \text{ と } y \text{ の要素が非ゼロ} \\ \iff \text{adj}(\lambda I - A) \text{ のすべての主小行列が非ゼロ} \\ \iff \text{adj}(\lambda I - A) \text{ の主対角要素が非ゼロ} \\ \iff \text{adj}(\lambda I - A) \text{ のすべての要素が非ゼロ}

ヒント

幾何重複度が 1 の固有値に対しては、随伴行列が左右固有ベクトルの外積で表されることを用いる。

また、随伴行列のトレースと固有値の基本対称式の関係に注目する。

解答例

仮定より、ある非零定数 \( \gamma \in \mathbb{C} \) が存在して \( \operatorname{adj}(\lambda I-A)=\gamma x y^* \) が成り立つ。

(a) 両辺のトレースを取ると、 \( \mathrm{tr}(\operatorname{adj}(\lambda I-A))=\gamma\,\mathrm{tr}(x y^*)=\gamma\,y^*x \) である。一方、随伴行列のトレースは基本対称式と一致し、 \( \mathrm{tr}(\operatorname{adj}(\lambda I-A))=E_{n-1}(\lambda I-A)=S_{n-1}(\lambda I-A) \) である。

S_{n-1}(\lambda I-A) =(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)\cdots(\lambda-\lambda_n)

したがって、 \( \gamma\,y^*x=(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)\cdots(\lambda-\lambda_n) \) が成り立つ。

(b) \( \lambda \) が単純固有値であるとき、右辺は 0 ではない。(a) の等式より \( \gamma\neq 0 \) であるから、 \( y^*x\neq 0 \) が従う。

(c) \( \gamma \) は重複度に依らず非零である。特に \( \lambda \) が単純固有値であれば (a) の等式を \( y^*x\neq 0 \) で割ることができ、 \( \gamma=\dfrac{(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)\cdots(\lambda-\lambda_n)}{y^*x} \) が得られる。

(d) \( \operatorname{adj}(\lambda I-A)=\gamma x y^* \) より、成分表示では \( (\operatorname{adj}(\lambda I-A))_{ij}=\gamma x_i \overline{y_j} \) である。したがって、すべての \( x_i,y_j \) が非零であることと、随伴行列のすべての成分が非零であることは同値である。

特に、主対角成分や主小行列が非零であることは、全成分が非零であることと同値であり、提示されたすべての条件は互いに同値である。