1.4.P12
1.4.問題12
行列 \(A \in M_n\) の固有値を \(\lambda\) とする。
(a) \(A - \lambda I\) の任意の \(n-1\) 列が線形独立であることと、\(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルにゼロ要素がないことが同値であることを示せ。
(b) \(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルにゼロ要素がない場合、なぜ \(\lambda\) の幾何重複度は 1 でなければならないのか説明せよ。
ヒント
固有値 \( \lambda \) に対して \( (A-\lambda I)x=0 \) を考える。行列の列の線形独立性と、解ベクトルの成分が 0 になるかどうかの関係に注目することが重要である。
解答例
\( \lambda \) を行列 \( A\in M_n \) の固有値とする。このとき \( A-\lambda I \) は特異行列であり、 \( (A-\lambda I)x=0 \) を満たす非零ベクトル \( x=(x_1,\dots,x_n)^{\top} \) が存在する。
(a) まず、\( A-\lambda I \) の任意の \( n-1 \) 列が線形独立であると仮定する。もし固有ベクトル \( x \) に零成分が存在し、ある \( j \) について \( x_j=0 \) であったとする。このとき \( (A-\lambda I)x=0 \) は、\( j \) 列を除いた \( n-1 \) 本の列の線形結合が零になることを意味し、これらの列は線形従属となる。これは仮定に反する。したがって、固有ベクトルのすべての成分は非零である。
逆に、\( \lambda \) に対応する固有ベクトルが零成分を持たないと仮定する。もし \( A-\lambda I \) のある \( n-1 \) 列が線形従属であれば、それらの列の線形結合が零となる非自明な係数が存在する。この係数を成分にもつベクトルを適切に拡張すると、零成分をもつ固有ベクトルが得られてしまう。よって、任意の \( n-1 \) 列は線形独立である。
以上より、\( A-\lambda I \) の任意の \( n-1 \) 列が線形独立であることと、\( \lambda \) に対応する固有ベクトルに零要素がないことは同値である。
(b) \( \lambda \) に対応する固有ベクトルに零要素がないと仮定する。このとき (a) より、 \( \operatorname{rank}(A-\lambda I)=n-1 \) が成り立つ。したがって、 \( \dim\ker(A-\lambda I)=1 \) である。
これは、\( \lambda \) に対応する固有空間の次元、すなわち幾何重複度が 1 であることを意味する。よって、固有ベクトルに零要素がない場合、\( \lambda \) の幾何重複度は必ず 1 である。
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