1.4.P9
1.4.問題9
行列 \(A \in M_n\) が固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}, 0\) を持ち、したがって \(\operatorname{rank} A \le n-1\) とする。
最後の行が最初の \(n-1\) 行の線形結合であると仮定する。
次のように分割する：
A =
\begin{pmatrix}
B \\ y^{\top}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x & \alpha
\end{pmatrix},
\quad B \in M_{n-1}
(a) なぜ \(z \in \mathbb{C}^{n-1}\) が存在して、\(y^{\top} = z^{\top} B\) および \(\alpha = z^{\top} x\) が成り立つのか説明せよ。
なぜ \(\begin{pmatrix} z \\ -1 \end{pmatrix}\) が固有値 0 に対応する左固有ベクトルになるのかを示せ。
(b) \(B + x z^{\top} \in M_{n-1}\) の固有値が \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}\) であることを示せ。
この構成は別の種類のデフレーションである。詳細な例については (1.3.P33) を参照。
(c) もし \(A\) の固有値 \(\lambda\) が既知である場合、この構成を適切な置換行列 \(P\) を用いて \(P(A - \lambda I)P^{-1}\) に適用する方法を説明せよ。
ヒント
最後の行が他の行の線形結合であるという仮定から、係数ベクトルを用いて関係式を書き表すことができる。
行列積の形を丁寧に計算し、左固有ベクトルの定義 \( y^{\ast}A=\lambda y^{\ast} \) を用いる。
固有値の保存には相似変換と行列式の性質を利用する。
解答例
仮定より、行列 \( A\in M_n \) の最後の行は最初の \( n-1 \) 行の線形結合である。
したがって、ある \( z\in\mathbb{C}^{n-1} \) が存在して \( y^{\top}=z^{\top} B \) と書ける。
また \( A=\begin{pmatrix} B \\ y^{\top} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & \alpha \end{pmatrix} \) より、最後の成分についても同じ係数で結合されるため、 \( \alpha=z^{\top} x \) が成り立つ。
(a) このとき
\begin{pmatrix} z^{\top} & -1 \end{pmatrix}
A
=
\begin{pmatrix} z^{\top} & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} B \\ y^{\top} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x & \alpha \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} z^{\top} B - y^{\top} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x & \alpha \end{pmatrix}
=0
が成り立つ。よって \( \begin{pmatrix} z \\ -1 \end{pmatrix} \) は固有値 \( 0 \) に対応する左固有ベクトルである。
(b) 行列式の性質より、 \( \det(\lambda I-A)=\lambda\det(\lambda I_{n-1}-(B+xz^{\top})) \) が成り立つ。したがって、\( A \) の非零固有値は \( B+xz^{\top} \) の固有値と一致する。
仮定より \( A \) の固有値は \( \lambda_1,\dots,\lambda_{n-1},0 \) であるから、 \( B+xz^{\top} \) の固有値は \( \lambda_1,\dots,\lambda_{n-1} \) である。
(c) もし \( A \) の固有値 \( \lambda \) が既知であるなら、まず \( A-\lambda I \) を考えると、その固有値の一つは \( 0 \) となる。対応する行と列が最後に来るように置換行列 \( P \) を選び、 \( P(A-\lambda I)P^{-1} \) に対して同様の分解と議論を適用すればよい。この操作により、既知の固有値を除いた行列に対してデフレーションを行うことができる。
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