1.4.問題9
1.4.P9
行列 \(A \in M_n\) が固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}, 0\) を持ち、したがって \(\operatorname{rank} A \le n-1\) とする。
最後の行が最初の \(n-1\) 行の線形結合であると仮定する。
次のように分割する：
A =
\begin{pmatrix}
B \\ y^T
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x & \alpha
\end{pmatrix},
\quad B \in M_{n-1}
(a) なぜ \(z \in \mathbb{C}^{n-1}\) が存在して、\(y^T = z^T B\) および \(\alpha = z^T x\) が成り立つのか説明せよ。
なぜ \(\begin{pmatrix} z \\ -1 \end{pmatrix}\) が固有値 0 に対応する左固有ベクトルになるのかを示せ。
(b) \(B + x z^T \in M_{n-1}\) の固有値が \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}\) であることを示せ。
この構成は別の種類のデフレーションである。詳細な例については (1.3.P33) を参照。
(c) もし \(A\) の固有値 \(\lambda\) が既知である場合、この構成を適切な置換行列 \(P\) を用いて \(P(A - \lambda I)P^{-1}\) に適用する方法を説明せよ。
コメント