1.4.P5
1.4.問題5
次のブロック三角行列を考える：
A = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{bmatrix}, \quad A_{ii} \in M_{n_i}, \ i = 1, 2
もし \( x \in \mathbb{C}^{n_1} \) が \( A_{11} \) の固有値 \( \lambda \in \sigma(A_{11}) \) に対応する右固有ベクトルであり、また \( y \in \mathbb{C}^{n_2} \) が \( A_{22} \) の固有値 \( \mu \in \sigma(A_{22}) \) に対応する左固有ベクトルであるとする。
このとき、
\begin{bmatrix}
x \\
0
\end{bmatrix} \in \mathbb{C}^{n_1+n_2}
は \( A \) の固有値 \( \lambda \) に対応する右固有ベクトルであり、
\begin{bmatrix}
0 \\
y
\end{bmatrix}
は \( A \) の固有値 \( \mu \) に対応する左固有ベクトルであることを示せ。
この観察を用いて、\( A \) の固有値は \( A_{11} \) の固有値と \( A_{22} \) の固有値を合わせたものであることを示せ。
ヒント
ブロック三角行列にベクトルを作用させると、上段と下段がどのように計算されるかを具体的に書き下すとよい。
右固有ベクトルと左固有ベクトルの定義を確認し、それぞれ \( A_{11} \) や \( A_{22} \) に対する固有関係がどのように反映されるかを調べる。
最後に、固有ベクトルの存在から固有値全体の集合を考察する。
解答例
行列 \( A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix} \) を考える。まず、\( x\in\mathbb{C}^{n_1} \) が \( A_{11} \) の固有値 \( \lambda \) に対応する右固有ベクトルであるとする。
このとき、
A\begin{bmatrix} x \\ 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_{11}x + A_{12}0 \\
A_{22}0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_{11}x \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda x \\
0
\end{bmatrix}
=
\lambda \begin{bmatrix} x \\ 0 \end{bmatrix}
が成り立つ。したがって \( \begin{bmatrix} x \\ 0 \end{bmatrix} \) は \( A \) の固有値 \( \lambda \) に対応する右固有ベクトルである。
次に、\( y\in\mathbb{C}^{n_2} \) が \( A_{22} \) の固有値 \( \mu \) に対応する左固有ベクトルであるとする。すなわち \( y^{\ast}A_{22}=\mu y^{\ast} \) が成り立つ。
このとき、
\begin{bmatrix} 0 & y^{\ast} \end{bmatrix}
A
=
\begin{bmatrix} 0 & y^{\ast} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 & y^{\ast}A_{22} \end{bmatrix}
=
\mu \begin{bmatrix} 0 & y^{\ast} \end{bmatrix}
となる。よって \( \begin{bmatrix} 0 \\ y \end{bmatrix} \) は \( A \) の固有値 \( \mu \) に対応する左固有ベクトルである。
以上より、\( A_{11} \) の任意の固有値は \( A \) の固有値であり、同様に \( A_{22} \) の任意の固有値も \( A \) の固有値であることが分かる。
一方、ブロック三角行列の行列式は \( \det A = \det A_{11}\det A_{22} \) と分解できるため、\( A \) の固有値は \( A_{11} \) の固有値と \( A_{22} \) の固有値を合わせたものに他ならない。
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