[行列解析1.4.p3]

1.4.問題3

1.4.P3

\( n \geq 2 \) とし、\( T = [t_{ij}] \in M_n \) を上三角行列とする。

(a) 固有値 \( t_{nn} \) に対応する \( T \) の右固有ベクトルを \( x \) とする。

このとき、\( e_n \) が \( t_{nn} \) に対応する左固有ベクトルである理由を説明せよ。

さらに、各 \( i = 1, \ldots, n-1 \) について \( t_{ii} \neq t_{nn} \) であるならば、\( x \) の最後の成分が 0 でないことを示せ。

(b) \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とする。このとき、固有値 \( t_{kk} \) に対応する \( T \) の固有ベクトル \( x \) が存在し、\( x \) の最後の \( n-k \) 成分がすべて 0 であること、すなわち

x^T = [\xi^T \; 0]^T, \quad \xi \in \mathbb{C}^k

となることを示せ。

さらに、すべての \( i = 1, \ldots, k-1 \) に対して \( t_{ii} \neq t_{kk} \) であるならば、\( x \) の第 \( k \) 成分が 0 でないことを説明せよ。