1.4.11
補題 1.4.11.
\( A \in M_n \)、\( \lambda \in \mathbb{C} \)、およびゼロでないベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与える。
\( \lambda \) が \( A \) の固有値であり、その幾何的重複度が 1 であり、さらに \( Ax = \lambda x \)、\( y^* A = \lambda y^* \) が成り立つと仮定する。
このとき、あるゼロでない \( \gamma \in \mathbb{C} \) が存在して、次が成り立つ：
\operatorname{adj}(\lambda I - A) = \gamma \, x y^*
証明.
\(\mathrm{rank}(\lambda I - A) = n - 1\) であるので、\(\mathrm{rank}\, \operatorname{adj}(\lambda I - A) = 1\) が成り立つ。
すなわち、あるゼロでない \(\xi, \eta \in \mathbb{C}^n\) が存在して、
\operatorname{adj}(\lambda I - A) = \xi \eta^*
が成り立つ（(0.8.2) 参照）。
さらに、
(\lambda I - A)(\operatorname{adj}(\lambda I - A))
= \det(\lambda I - A) I = 0
であるから、
(\lambda I - A) \xi \eta^* = 0
が成り立ち、特に \((\lambda I - A)\xi = 0\) である。
したがって、あるゼロでないスカラー \(\alpha\) が存在して \(\xi = \alpha x\) となる。同様に、恒等式
(\operatorname{adj}(\lambda I - A))(\lambda I - A) = 0
を用いると、あるゼロでないスカラー \(\beta\) が存在して \(\eta = \beta y\) となる。
したがって、
\operatorname{adj}(\lambda I - A) = \alpha \beta x y^*
が得られる。■
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