1.4.10
定理 1.4.10.
\( A \in M_n \)、\( \lambda \in \mathbb{C} \)、および \( k \geq 1 \) なる正の整数を与える。このとき、次の3つの命題を考える：
(a) \( \lambda \) は \( A \) の固有値であり、その幾何的重複度が少なくとも \( k \) である。
(b) 各 \( m = n-k+1, \dots, n \) に対して、\( \lambda \) は \( A \) のすべての \( m \times m \) 主小行列の固有値である。
(c) \( \lambda \) は \( A \) の固有値であり、その代数的重複度が少なくとも \( k \) である。
このとき、(a) ⇒ (b)、(b) ⇒ (c) が成り立つ。
特に、固有値の代数的重複度はその幾何的重複度以上である。
証明.
(a) ⇒ (b): \( \lambda \) が \( A \) の固有値であり、その幾何的重複度が少なくとも \( k \) であるとする。
これは次を意味する：
\mathrm{rank}(A - \lambda I) \leq n - k
ここで \( m > n-k \) と仮定する。このとき、\( A - \lambda I \) のすべての \( m \times m \) 小行列式はゼロである。
特に、すべての \( m \times m \) 主小行列式がゼロとなり、よってすべての \( m \times m \) 主小行列は非正則である。
したがって、\( \lambda \) は \( A \) のすべての \( m \times m \) 主小行列の固有値である。
(b) ⇒ (c): 各 \( m \geq n-k+1 \) に対して、\( \lambda \) が \( A \) のすべての \( m \times m \) 主小行列の固有値であると仮定する。
このとき、サイズが少なくとも \( n-k+1 \) のすべての主小行列式はゼロである。したがって、各主小行列式和について
E_j(A - \lambda I) = 0 \quad (j \geq n-k+1)
が成り立つ。
これにより (1.2.13) および (1.2.11) から次が従う：
p^{(i)}_{A-\lambda I}(0) = 0 \quad (i = 0, 1, \dots, k-1)
ここで \( p_{A-\lambda I}(t) = p_A(t+\lambda) \) であるから、
p^{(i)}_A(\lambda) = 0 \quad (i = 0, 1, \dots, k-1)
すなわち、\( \lambda \) は多項式 \( p_A(t) \) の零点であり、その重複度は少なくとも \( k \) である。■
幾何的重複度 1 の固有値 \( \lambda \) が代数的重複度 2 以上をもつことはあり得るが、それは \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルと右固有ベクトルが直交する場合に限られる。
しかし、もし \( \lambda \) の代数的重複度が 1 ならば、その幾何的重複度も 1 であり、この場合には左固有ベクトルと右固有ベクトルが直交することは決してない。
これらの結果を導くための我々のアプローチは、次の補題に依存している。
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