[行列解析1.3.P41]対角同値と固有値の重複性

1.3.P41

1.3.問題41
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1.3.問題41

\(A \in M_n\) が異なる固有値を持たない場合、\(A\)に相似な任意の行列も異なる固有値を持たない。
しかし、\(A\)に対角同値な行列の中には異なる固有値を持つものがあるかもしれない。

(a) \(D_1, D_2 \in M_n\) が対角かつ非特異であり、\(D_1AD_2\) が異なる固有値を持つ場合、なぜ非特異な \(D \in M_n\) が存在して \(DA\) が異なる固有値を持つのか説明せよ。

(b) \(A \in M_n\) が厳密三角行列で \(n \ge 2\) の場合、\(A\)に対角同値な任意の行列は異なる固有値を持たない理由を説明せよ。

(c) \(n = 2\) とし、\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) とする。\(A\)に対角同値な行列が異なる固有値を持たないと仮定する。すると

A_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix} A = \begin{pmatrix} a & b \\ zc & zd \end{pmatrix}

は任意の非ゼロ \(z \in \mathbb{C}\) に対して重根を持つ。

多項式 \(p_{A_z}(t)\) の判別式は次の通りである。

\Delta = (a + dz)^2 - 4(ad - bc)z = d^2 z^2 + (2ad - 4(ad - bc))z + a^2

この判別式が任意の非ゼロ \(z \in \mathbb{C}\) でゼロになる理由を説明せよ。これにより、\(d = 0\)、\(a = 0\)、および \(bc = 0\) が導かれ、\(A\)は厳密三角行列であることがわかる。

(d) \(n = 2\) の場合、\(A\)が異なる固有値を持つ行列に対角同値でない条件は、\(A\)が特異であり、かつ\(A\)のサイズ \(n-1\) の主小行列がすべてゼロであることと同値であることを説明せよ。

(e) (d) の主張は、すべての \(n \ge 2\) に対して正しいことが知られている。

ヒント

相似変換は固有値を保存するが、対角同値は一般に保存しない。

(a) では左右からの対角変換を一方に吸収する工夫を用いる。

(b) と (c) では特性多項式とその判別式を調べる。

(d) では 2 次の場合の具体的計算を構造的条件に読み替える。

解答例

(a) \(D_1,D_2\) はともに対角かつ非特異であるから、\(D_2=D_1^{-1}(D_1D_2)\) と書ける。ここで \(D=D_1\) とおけば \(D_1AD_2 = D A (D^{-1}D_2)\) であり、右側の因子 \(D^{-1}D_2\) も対角かつ非特異である。

したがって、適当な非特異行列 \(D\) が存在して \(DA\) が異なる固有値を持つ。

(b) \(A\) が厳密三角行列であるとき、その対角成分はすべて 0 である。

対角行列 \(D_1,D_2\) による変換 \(D_1AD_2\) を考えても、対角成分は依然として \(0\) のままである。

したがって、任意の対角的に等しい行列の特性多項式は \(t^n\) となり、固有値は \(0\) のみで重複を持つ。

(c) 仮定より、任意の非零 \(z\) に対して \(A_z\) は重根を持つ。

したがって特性多項式 \(p_{A_z}(t)\) の判別式 \(\Delta\) は任意の非零 \(z\) で \(0\) でなければならない。

\(\Delta\) は \(d^2 z^2 + (2ad - 4(ad - bc))z + a^2\) という \(z\) の多項式である。
これが無限個の \(z\neq 0\) に対して 0 となるためには、係数がすべて 0 でなければならない。

よって \(d^2=0\)、\(a^2=0\)、および \(2ad-4(ad-bc)=0\) が従う。これより \(a=0\)、\(d=0\)、さらに \(bc=0\) である。

したがって \(A\) は厳密三角行列である。

(d) \(n=2\) の場合、(c) の結果より、\(A\) が異なる固有値を持つ行列に対角同値でないならば、\(A\) は特異であり、かつ 1 次の主小行列、すなわち対角成分がすべて 0 である。

逆に、この条件を満たす行列は厳密三角行列となり、(b) より対角同値な任意の行列も異なる固有値を持たない。

(e) 同様の議論は一般の \(n \ge 2\) に対しても成立することが知られている。

すなわち、\(A\) が異なる固有値を持つ行列に対対角同値でないことと、\(A\) が特異であり、かつすべてのサイズ \(n-1\) の主小行列が \(0\) であることは同値である。

注記と参考文献:

(1.3.P41(e)) の主張の証明は M. D. Choi らによる "Every invertible matrix is diagonally equivalent to a matrix with distinct eigenvalues" (Linear Algebra Appl. 436 (2012) 3773–3776) を参照。